Сумма квадратов k первых натуральных чисел

[gore]

Вот такая задача, не могу решить, хоть убей...если сможете, жайте примерное решение или подсказку.
Задача:
найдите сумму квадратов k первых натуральных чисел. Предложите не менее двух способов получения формулы для такой суммы.

[Антипка]

Ну вот один из способов: можно использовать тот факт, что сумма значений некоторого полинома N-й степени для натуральных чисел от 1 до n выражается в виде полинома N+1 -й степени от n:
$\[ \sum\limits_{i = 1}^n {P_N (i)} = P_{N + 1} (n) \]$
Коэффициенты полинома находите методом неопределенных коэффициентов.

Например, вот как можно это использовать для нахождения выражения для суммы чисел от 1 до n: поскольку суммируются значения полинома первой степени, результат представляется в виде полинома второй степени:
$\[ \sum\limits_{i = 1}^n i = A + Bn + Cn^2 \] $
Рассматриваем значения для n=1,2,3, получаем систему уравнений для A,B,C:

n=1: A+ B+ C=1
n=2: A+2B+4C=3
n=3: A+3B+9C=6

Решаем эту систему, получаем:
A=0, B=C=1/2, откуда:
$\[ \sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{1} {2}n + \frac{1} {2}n^2 = \frac{{n(n + 1)}} {2} \] $
Для квадратов (и более высоких степеней) проделайте это самостоятельно.

[PAV]

Сама формула здесь.

http://www.math.ru/dic/449

Где-то формальное доказательство я находил в интернете, поищите как следует. Можно вывести "в лоб" (один способ) или "догадаться" и доказать по индукции (второй).

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

Вообще же общий способ такой: рассмотрите разность последовательных значений более высоких степеней. Для второй рассмотрите

$(k+1)^3-k^3$

Эти разности по последовательным $k$ легко суммируются (промежуточные члены сокращаются), а через них нужная Вам сумма выражается.

[RIP]

А ещё можно почитать п.2.5. книжки Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики.

[gore]

Ребят, ОГРОМНОЕ ВАМ СПАСИБО! Ваша помошь оказалась очень кстати. Желаю удачи Вам и Вашему форуму.
Еще раз спасибо.

Тему можно закрыть.

[La|Verd]

А можно и с помощью геометрического суммирования

[Pi]

Кто нибудь знает общую формулу f(m,k) для частичной суммы

$$f(m,k) = \sum\limits_{n=1}^m n^k$$

для любых целых (положительных) m,k.


// 30.04.09 темы соединены. / GAA

[Nilenbert]

Faulhaber's formula

[Gafield]

Много кто знает. Эта сумма выражается через числа Бернулли, см., напр. "Конкретную математику".

[AndreyXYZ]

Получить формулу для $1^2+2^2+\ldots+n^2$ различными способами.

Я предлагаю следующий способ решения. Известно, что $1^k+2^k+\ldots+n^k=P_{k+1}(n)$ --- полином от $n$ $(k+1)$-й степени (напомните, кто это доказал). Для нашей задачи имеем:
$1^2+2^2+\ldots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3.$
\left\{ \begin{aligned} 0=&a\\ 1^2=&a+b\cdot1+c\cdot1^2+d\cdot1^3\\ 1^2+2^2=&a+b\cdot2+c\cdot2^2+d\cdot2^3\\ 1^2+2^2+3^2=&a+b\cdot3+c\cdot3^2+d\cdot3^3\\ \end{aligned} \right.
Решая систему уравнений, получим $a=0,\,b=\frac16,\,c=\frac12,\,d=\frac13$, т.е. $P_3(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

// 30.04.09 темы соединены. / GAA

[juna]

$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$
$x=1\to 2^3=1^3+3\cdot 1^2+3\cdot 1+1$
$x=2\to 3^3=2^3+3\cdot 2^2+3\cdot 2+1$
$x=3\to 4^3=3^3+3\cdot 3^2+3\cdot 3+1$
...
$x=n\to (n+1)^3=n^3+3\cdot n^2+3\cdot n+1$
-------------------------------------------------------------------$\Sigma$

$2^3+3^3+4^3+...+(n+1)^3=1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3+$
$+3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$ и т.д.

[maxal]

http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html

[AndreyXYZ]

AndreyXYZ в сообщении #209610 писал(а):

$1^k+2^k+\ldots+n^k=P_{k+1}(n)$ --- полином от $n$ $(k+1)$-й степени

Никто не знает, чья это теорема? Или как это доказать?

[maxal]

AndreyXYZ
см. ссылку выше
это результат J. Faulhaber аж 1631 года.

Добавлено спустя 40 секунд:

или вот еще: http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_Formula

[ASA]

На основе идеи junы выводится следующая реккурентная формула.
Пусть

$$S(n,k)=\sum_{i=1}^n i^k.$$

Тогда $S(n,0)=n$,

$$S(n,k)=\frac{1}{k+1}\left[(n+1)^{k+1}-1-\sum_{j=0}^{k-1}C_{k+1}^jS(n,j)\right].$$

Если, конечно, я Америку не открыл.

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

Это, кстати, и ответ на вопрос:

AndreyXYZ писал(а):

AndreyXYZ в сообщении #209610 писал(а):

$1^k+2^k+\ldots+n^k=P_{k+1}(n)$ --- полином от $n$ $(k+1)$-й степени

Никто не знает, чья это теорема? Или как это доказать?