Доказать существование решения матричного уравнения

[Leksey]

Есть уравнение:
$A*K*A^T =I$

$K$ - известная положительно-определенная матрица.
$A^T$ - транспонированная $A$ матрица.

Надо найти $A$.

Где узнать ответ на вопрос о существовании решения такого уравнения?

[Руст]

Если К симметричная матрица, то это есть приведение положительно определённой квадратичной формы к виду суммы квадратов. Имеется в любом учебнике. Для несимметричной думаю это не верно.

[Leksey]

Да K симметрическая.
Спасибо большое, мои познания в линейной алгебре оставляют желать лучшего....(Впрочем как и по остальной математике)

Жаль на форуме нет системы повышения репутации....

[незваный гость]

В Ваших условиях существует ортогональная $F$ приводящая $K$ к диагональному виду: $K = F D F^t$. Тогда $A K A^t = $ $A F D F^t A^t = $ $ (A F) D (A F)^t = I$. Существование решения последнего уравнения более или менее очевидно -- достаточно взять , например, $ A F = D^{-1/2} $, откеле выводим $ A = D^{-1/2} F^t $. (Для диагональной матрицы извлечение корня и обращение тривиальны.)