Разложение многочленов и интегрирование рац. функций

[nbyte]

Здравствуйте.
Учусь интегрировать рациональные функции и хочу спросить/узнать как правильно раскладывать многочлен в таких задачах.
Тоесть есть функция вида
$\frac{P(x)}{Q(x)}$ и я иногда испытываю затруднения с разложением
Например $Q(x)=x^4+10x^2+25$ надо разложить как $(x^2+5)^2$, а я например невижу этого и начинаю делать так $x^4+10x^2+25=x^2(x^2+10)+25$ тоесть в неправильную сторону.
Скоро контрольная и хочу научится правильно раскладывать.
Подскажите пожалуйста на что следует обращать внимание чтобы правильно разложить многочлен.
Тоесть при разложении полинома какие шаги нужно предпринимать?
Нужно-ли знать таблицу разложения для 4 степени?

[ewert]

nbyte в сообщении #202887 писал(а):

Подскажите пожалуйста на что следует обращать внимание чтобы правильно разложить многочлен.

К сожалению, только на соображения здравого смысла (вроде тех, которые Вы привели в Вашем примере). Т.е. формально-то надо просто найти все корни многочлена и разложить его на соответствующие множители (сгруппировав попарно скобки с сопряжёнными комплексными корнями для получения квадратичных множителей), но регулярной процедуры для поиска всех корней в общем случае, увы, не существует.

[nbyte]

Тогда ещё интересно спросить
А если мне не получится разложить $Q(x)=x^4+10x^2+25$ в $(x^2+5)^2$ то мне не удастся правильно найти интеграл?
Или тут можно по разному решить?

[citadeldimon]

Во-первых нужно знать хотя бы формулы сокращенного умножения и метод группирования. Вам поможет книга с алгебры за 8 класс, если не ошибаюсь.

[gris]

Ув. nbyte, исходите из того, что на контрольной предлагаются задачи, которые заведомо можно решить начитанными вам методами. Иногда задача требует прежде всего внимательности и некоторой смекалки.

Если говорить об интегрировании дробно-рациональных функций, то я посоветовал бы вначале внимательно посмотреть на числитель и знаменатель.

Не является ли числитель производной знаменателя или части его.

$$\int\frac{5x^4 - 12x^2 + 2x -8}{x^5-4x^3+x^2-8x}dx=\int\frac{( x^5-4x^3+x^2-8x)'}{x^5-4x^3+x^2-8x}dx=$$ $$=\int\frac{d( x^5-4x^3+x^2-8x)}{x^5-4x^3+x^2-8x}=\ln|x^5-4x^3+x^2-8x)|+C$$

$$\int\frac{6x^2}{x^6-x^3+2}dx=2\int\frac{dx^3}{x^6-x^3+2}dx=2\int\frac{dt}{t^2-t+2}dx=...$$

Обращайте внимание, если многочлен знаменателя состоит из кратных степеней.

$$\int\frac{6x^{11}}{x^{12}-4x^6+4}dx=\int\frac{x^6dx^6}{x^{12}-4x^6+4}dx=\int\frac{tdt}{t^2-4t+4}dx=...$$

Иногда бывают прямые подсказки

$$\int\frac{3x^2-2x}{(x^6-2x^5+x^4) -3x^3+3x^2}dx=\big \{t=x^3-x^2\big \}=\int\frac{dt}{t^2-3t}=...$$

Такие примеры очень часто предлагаются, поверьте.
Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, выделяйте целую часть.
Ну если уж ничего не видно, то раскладывайте знаменатель. Иногда корень можно просто подобрать.
Вы должны хорошо знать деление многочленов в столбик и метод неопределённых коэффициентов.

[Хорхе]

$$ \mathbf{ln}|x^5-4x^3+x^2-8x)|+C $$

[gris]

Хорхе, спс. Только уберите мою цитату, а то она растягивает страницу. Я заметил и полез исправлять, а у меня инет вылетел.

[nbyte]

gris, спасибо за ваши cоветы/подсказки.
Мне ещё неясно с этим моментом

Цитата:

если мне не получится разложить $Q(x)=x^4+10x^2+25$ в $(x^2+5)^2$ то мне не удастся правильно найти интеграл?

Вродебы я ответа не получил.

[Brukvalub]

В математике пока не доказано теоремы о том, что, если кому-либо не удастся разложить многочлен на множители, то он не сумеет проинтегрировать соответствующую дробь.
Но многочисленные эксперименты, поставленные на учащихся ими самими же, делают такой вывод почти достоверным.

[gris]

Интегрирование, в общем, сводится к тому, чтобы с помощью упрощений, подстановок и замен свести интеграл к табличным.

Какие табличные интегралы связаны с дробно-линейными функциями?

$$\int x^n dx$$

,

$$\int \frac1xdx$$

,

$$\int \frac{dx}{x^2+1}$$

.

Ну немного расширенный набор включает различные

$$\int \frac{dx}{a^2x^2-b^2}$$

,

$$\int \frac{dx}{(a^2x^2-b^2)^2}$$

и другие. Есть целые таблицы.

В Вашем случае многое зависит от числителя. Например,

$$\int \frac{2xdx}{x^4+10x^2+25}=\big\{t=x^2+5\big\}=\int \frac{dt}{t^2}=...$$

$$\int \frac{4x^3+20x}{x^4+10x^2+25}dx=\ln |x^4+10x^2+25|+C$$

Но мало разложить на множители знаменатель, надо ещё правильно разложить дробь на простейшие. А в этом ох как многие путаются.

Если у Вас с собой толстенный справочник по неопределённым интегралам, то там скорее всего, можно найти любой случай с многочленами меньше пятой степени. Если нет справочника, учитесь раскладывать.

[nbyte]

Цитата:

Но мало разложить на множители знаменатель, надо ещё правильно разложить дробь на простейшие. А в этом ох как многие путаются.

Я с этим больше всего и боюсь ошибиться
Надеюсь что не ошибусь.
Спасибо вам за вашу помощь.