Закон растекания капли

[Doberman]

Уважаемые участники, помогите, пжл, теоретическим материалом для решения задачи о законе растекания капли, и определению ее высоты. Попытка поиска в интеренете не дала желаемого эффекта, нашел только отчасти решение, а именно: "что
скорость растекания капли обратно пропорциональна девятой степени радиуса
пятна контакта" но не нашел теории по определению закона изменения высоты капли от времени растекания, также не понятно определение "характерного время процесса растекания" обозначаемого To, чем это время отличается от времени процеса?
За ранее спасибо.
PS школьную физику забыл давно, поэтому надежда только на вас.

[ddn]

Doberman писал(а):

Уважаемые участники, помогите, пжл, теоретическим материалом для решения задачи о законе растекания капли, и определению ее высоты. Попытка поиска в интернете не дала желаемого эффекта, нашел только отчасти решение, а именно: "что
скорость растекания капли обратно пропорциональна девятой степени радиуса
пятна контакта"...
PS школьную физику забыл давно, поэтому надежда только на вас.

Элементарное (школьное) и максимально упрощенное решение.

Рассмотрим идеальную (вязкостью и поверхностным натяжением пренебрегаем) несжимаемую (плотность $\rho=\rho_0=const$) жидкость в виде капли цилиндрической формы, объема $V=V_0=\pi R^2\cdot H=const$, высоты $H=H(t)$ и радиуса $R=R(t)=\sqrt{\frac{V_0}{\pi H(t)}}$, а ее движение осесимметрично. И пусть радиальная скорость движения частиц жидкости не зависит от высоты, при фиксированном радиальном расстоянии $r$ и моменте времени $t$, а вертикальной составляющей скорости пренебрегаем, откуда:
$v=v_r=v_r(r,t)$.

Тогда из условия сохранения объема жидкости, ограниченной цилиндром радиуса основания $r$:
$\frac{dV(r,t)}{dt}=\pi r^2\frac{dH(t)}{dt}=2\pi r\cdot H(t)v(r,t)$,
откуда $v(r,t)=r\frac{dH(t)}{2H(t)dt}$.

Без поверхностного натяжения единственной потенциальной энергией жидкости является ее энергия в поле тяжести:
$U=U(t)=\int\limits_{0}^{H(t)}dU(h,t)=\int\limits_{0}^{H(t)}dm(h,t)gh=\int\limits_{0}^{H(t)}\rho_0\pi R(t)^2ghdh=$
$=\frac{1}{2}\pi\rho_0gR(t)^2H(t)^2=\frac{1}{2}M_0gH(t)$.
Кинетическая же энергия жидкости обусловлена только ее радиальным движением:
$T=T(t)=\int\limits_{0}^{R(t)}dT(r,t)=\int\limits_{0}^{R(t)}dm(r,t)\frac{v(r,t)^2}{2}=\int\limits_{0}^{R(t)}\rho_02\pi rH(t)dr\frac{r^2}{8H(t)^2}\left(\frac{dH(t)}{dt}\right)^2=$
$=\frac{1}{16}\pi\rho_0\frac{R(t)^4}{H(t)}\left(\frac{dH(t)}{dt}\right)^2=\frac{1}{16\pi}M_0V_0\frac{1}{H(t)^3}\left(\frac{dH(t)}{dt}\right)^2$.
Так как нет потерь энергии на трение, полная механическая энергия жидкости сохраняется:
$E=E_0=U(t)+T(t)=\frac{1}{2}M_0gH(t)+\frac{1}{16\pi}M_0V_0\frac{1}{H(t)^3}\left(\frac{dH(t)}{dt}\right)^2=const$, или $w_0=\frac{E_0}{M_0}=\frac{g}{2}H(t)+\frac{V_0}{16\pi}\frac{1}{H(t)^3}\left(\frac{dH(t)}{dt}\right)^2$.

Откуда, $\left(\frac{dH(t)}{dt}\right)^2=\frac{16\pi}{V_0}(w_0-\frac{g}{2}H(t))H(t)^3$ или
$\frac{dH(t)}{dt}=-4\sqrt{\frac{\pi}{V_0}}\sqrt{w_0H(t)^3-\frac{g}{2}H(t)^4}<0$.

Рассмотрев процесс уже при достаточно малой высоте цилиндрической капли: $H(t)\ll\frac{2w_0}{g}$, получим приближение $\frac{dH(t)}{dt}=-4\sqrt{\frac{\pi w_0}{V_0}}H(t)^{\frac{3}{2}}=-\alpha\cdot H(t)^{\frac{3}{2}}$.

Решим дифф. уравнение для высоты капли:
$\frac{dH}{H^{3/2}}=-2\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\sqrt{H}}\right)=-\alpha dt$, $2\left(\frac{1}{\sqrt{H}}-\frac{1}{\sqrt{H_0}}\right)=\alpha(t-t_0)$,
и решение есть
$H(t)=\frac{1}{\left(\frac{\alpha}{2}(t-t_0)+\frac{1}{\sqrt{H_0}}\right)^2}=\frac{1}{\left(2\sqrt{\frac{\pi w_0}{V_0}}(t-t_0)+\frac{1}{\sqrt{H_0}}\right)^2}$.
При больших временах $H(t)=\frac{V_0}{4\pi w_0(t-t_0)^2}$.

Тогда радиус капли $R(t)=\sqrt{\frac{V_0}{\pi H(t)}}=2\sqrt{w_0}(t-t_0)+\sqrt{\frac{V_0}{\pi H_0}}$ и при больших временах $R(t)=2\sqrt{w_0}(t-t_0)$.

Тогда скорость растекания капли капли $v(R(t),t)=\frac{dR(t)}{dt}=2\sqrt{w_0}$.
Никаких девяти-степенных законов не увидел.

[Doberman]

ddn
Спасибо большое! Буду сегодня смотреть Ваши выкладки.

Добавлено спустя 15 минут 13 секунд:

ddn
не много запутался (всё начисто забыл ;( )
высота зависит от оmega, а сама переменная зависит от высоты, как с этим поступить?

[ddn]

Doberman писал(а):

ddn
не много запутался (всё начисто забыл ;( )
высота зависит от оmega, а сама переменная зависит от высоты, как с этим поступить?

$w_0=\frac{E_0}{M_0}$ - это удельная механическая энергии жидкости (энергия на единицу массы), она не зависит от времени (потому величина и обозначена с ноликом) и от определяется из начальных условий.
Начало отсчета можно положить в тот момент, когда жидкость покоилась ($\frac{dH(t)}{dt}=0$) и вся ее механическая энергия была сосредоточена в потенциальной форме ($E_0=U_0$ и $T_0=0$). Тогда начальная высота $H_0=\frac{2w_0}{g}$ - выражается через удельную полную энергию $w_0$.

[Doberman]

ddn
Спасибо, очень Вам благодарен.