Сравнение двух чисел (ЕГЭ, С5, тренировочн)

[Brukvalub]

Сравнить средствами "школьной" математики число

\[9(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4})\]

с единицей.

[worm2]

Чушь потёрта.

[Gafield]

Напрашивается возведение в куб, там получится такая же скобка.

[ewert]

Или тупо подбором:

$$5>{1\over729}+{3\over81}\sqrt[3]{4}+{3\over9}\left(\sqrt[3]{4}\right)^2+4.$$

Это правда, т.к. заведомо $\sqrt[3]{4}<1.6,$ а

$$1>{1\over729}+{1.6\over27}+{2.56\over3}$$

выполняется с довольно заметным запасом.

[Gafield]

Школьное неравенство вроде для натуральных $n$, а для $1/3$ следующий член ряда Тейлора будет отрицательный.

$5\cdot 12^3-4\cdot 13^3=-148$ так что $\sqrt[3]{5/4}<13/12$.

[gris]

$$9(\sqrt [3] 5 - \sqrt[3]4) = \frac{9\cdot(5-4)}{(\sqrt [3]5)^2+\sqrt [3] 5\sqrt [3] 4+(\sqrt [3] 4)^2)}=\frac{9}{\sqrt [3]{25}+\sqrt [3] {20}+\sqrt [3] {16}}>\frac{9}{\sqrt [3]{27}+\sqrt [3] {27}+\sqrt [3] {27}}=1$$

Ответ:

$$9(\sqrt [3] 5 - \sqrt[3]4) >1$$

[ewert]

Gafield в сообщении #202757 писал(а):

Школьное неравенство вроде для натуральных

Это правда -- из формулы для куба суммы следует, что неравенство действительно противоположное.

[worm2]

Gafield писал(а):

Школьное неравенство вроде для натуральных $n$, а для $1/3$ следующий член ряда Тейлора будет отрицательный.

Да, точно. Вот что бывает, когда пытаешься мыслить, как школьник, забыв напрочь, что же там на самом деле было

[Brukvalub]

gris - здорово! Спасибо.
А я так пробовал, но до последнего огрубления не догадался..
Это тренировочная задача с ЕГЭ, С5, там логарифмическое неравенство с таким вот основанием - попросили решить.
Да и всем, принявшим участие в обсуждении - спасибо!