Помогите решить. Динамика Тела

[Sintanial]

Ребят помогите решить задачку из Яблонского ( для курсовых )
Динамика Д3
Вариант 21
Найти уравнение движения груза $D$ массой $m$ по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол $\alpha$ , отнеся движение к оси $ x$ , за начало отсчета взять положение покоя груза (при статической диформации пружин).
№21 В некоторый момент времени груз $D (m=2)$кг прикрепляют к концам недеформированных пружин, имеющих коэффициенты жесткости $ c_1=7 , c_2=3 $ Н/см ; одновременно грузу сообщают скорость $ v_0=0.4$ м/с, направленную вдоль наклонной плоскости вниз ( $\alpha=45^o$)



З.ы. Проблема в том что не могу составить уравнение движение ето раз. Но самое главное не могу найти общую жесткость пружин, в этом случае. Обычно при паралельном подвешивании жесткость равняется $c=c_1+c_2$ при последовательном

$$c={\frac {1}{c_1}}+{\frac {1}{c_2}}$$

а как найти в этом случае ?

Вот мое уравнение движение $m \ddot x=-c(x+x_{ct} ) +mg*sin(\alpha)$ $=>$ $m \ddot x-cx=0$ - но что то я в нем сильно сомневаюсь =).

Ребят если не трудно то можете чуть чуть разжевать что да почему. А то плаваю в этой теме =)

[Андрей123]

Давайте последовательно. Нарисуйте силы, которые действуют на груз.

[Sintanial]

Эммм ну вроде как то так =)

[Андрей123]

У силы F1 не нарисовано направление. Теперь проецируйте эти силы на ось x и записывайте второй закон Ньютона.

[Sintanial]

Там нарисовано вниз. Просто сливается =)

Ну что ж вот проекция
$x : F_1-F_2+mg*sin(\alpha)=0 $
По закону Ньютона

$$ \frac{\vec {d}}{dt}(mv) = \vec{F} $$

где $F$ - равнодействующая всех сил приложенных к телу $=>$ $m \ddot x = F_1 - F_2 + mg*sin(\alpha)$ - эммм вроде так =) . Самое трудное это с $X_{ct} $ и $X $- не фига не пойму как их выводить, и где на рисунке они расположены, при том так что бы дифф ур получился однородным =)

[Андрей123]

F1 не вниз, а вверх, т.к. при положительном x пружина 1 сжимается. Чему равны по величине F1, F2?

[Sintanial]

Нет, вы не смотрите на индексы жесткости =)) . Я просто на них не смотрел когда рисовал, че то об этом не подумал . $F_1$ относится к пружине с коэффициентом жесткости $ C_2 $ и направленна в направление оси $x$ а $F_2 $ наоборот к $C_1$ . Щас переделаю картинку, что бы не путаться


Вот теперь все на своих местах $F_1$ к $C_1$ и $F_2$ к $C_2$

А в каком смысле чему равны по величине ? Из теории вроде бы так : $F_1=c_1x $ $F_2=-c_2x$

[Андрей123]

Sintanial писал(а):

А в каком смысле чему равны по величине ? Из теории вроде бы так : $F_1=c_1x $ $F_2=-c_2x$

Почти, с учетом направления оси x: $F_1=-c_1x ,F_2=c_2x$. Откуда отсчитывается x? Как изменяться данные величины, если x отсчитывать от положения равновесия $x_{st}$? Как найти это положение?

[Sintanial]

Я б сам бы хотел такое у вас спросить . Как найти это положение и как изменяются данные величины =)

А почему $F_1 = -c_1 x $ - ведь $ F_1 $ соноправлены с осью х а $F_2 $ наоборот противоположно направлены


Мне так кажется что $X $ $X_{ct} $ расположены вот так



Добавлено спустя 31 минуту 34 секунды:

Ну я думаю тогда уравнение движения будет вот такое :

$m \ddot x = -c_1x -c_2x + mg*sin(\alpha) $ =>$m \ddot x = -(c_1 + c_2)(x+x_{ct}) + mg*sin(\alpha) $

Добавлено спустя 1 минуту 48 секунд:

И еще вопрос. А по какой формуле находить $ x_{ct} $ ? У меня в тетради написано по формуле

$$x_{ct} = \frac {mg*sin(\alpha)}{c} $$

но я хочу разобраться полностью- поэтому напрашивается вопрос откуда её взяли ?

[Sintanial]

Всё ! С самым последним вопросом Вроде как разобрался

[Андрей123]

Sintanial писал(а):

А почему $F_1 = -c_1 x $ - ведь $ F_1 $ соноправлены с осью х а $F_2 $ наоборот противоположно направлены

При положительном смещении x сила F1 будет токать груз назад, т.к. пружина 1 будет сжиматься.

Sintanial писал(а):

Мне так кажется что $X $ $X_{ct} $ расположены вот так
URL=http://floomby.ru/content/oCJXuStZa0/][/URL]

Неа. Наоборот.

Sintanial писал(а):

И еще вопрос. А по какой формуле находить $ x_{ct} $ ? У меня в тетради написано по формуле

$$x_{ct} = \frac {mg*sin(\alpha)}{c} $$

но я хочу разобраться полностью- поэтому напрашивается вопрос откуда её взяли ?

Приравняйте все действующие на груз силы нулю.

[Sintanial]

А обьясните почему Хст и Х наоборот =) ?? ведь у $C_2$ коэффициент жесткости больше чем у $C_1 $ и как мне кажется $C_2$ должна тянуть груз на верх =) сильнее чем $C_1 $ будет тянуть груз вниз . Или я в чем то ошибся ?

[Андрей123]

Подправил предыдущее сообщение. Уравнение, все-таки, было правильным. Начало отсчета - пружины находятся в недеформированном состоянии. $X_{st}$- положение равновесия груза. Пружина 1 буде сжата, а 2 - растянута.

[Sintanial]

Теперь я совсем запутался =)) где правильно а где нет =)

И почему $X_{st} $ будет в положении равновесии груза? Мне вообще кажется что Хст будет зависить от того какую пружину я буду рассматривать ! ?

Добавлено спустя 11 минут 45 секунд:

Так ну если мое уравнение правильное то по идеи получается от так

$m \ddot x = -(c_1 + c_2)(x+x_{ct}) + mg*sin(\alpha) $ $=>$
$m \ddot x = -cx-cx_{ct} + mg*sin(\alpha) $ $=>$ так как

$$x_{st}=\frac {mg*sin(\alpha)}{c} $$

то
$m \ddot x = -cx $ => $$m \ddot x + cx=0 $ $=>$ $\ddot x +\omega x=0 $
$=>$ $\lambda^2 + \omega^2=0$ $=>$ $\lambda=\pm i \omega$
$=>$ $x_{o.o.}=Asin(\omega t)+Bcos(\omega t)$
$x(0)=0$ $=>$ $0=B$ $\dot x(0)=0,4$ $=>$ $0.4=\omega A$

Добавлено спустя 49 секунд:

Тогда возникает вопрос : Зачем дают угол $\alpha$ ?

[Андрей123]

Положение равновесия единственно. Представьте себе груз прикрепляют к пружинам и он медленно сползает до какого-то определенного положения, которое и будет положением равновесия. Угол дан как раз для определения $x_{st}$. Первое начальное условие записано неверно. Правильно: $x(0)=-x_{st}$.