|
Подмножество М топологического пространства Х называется локально замкнутым в своей точке, если существует такая её окрестность в Х, что след М на этой окрестности замкнут в подпространстве данной окрестности. Если М локально замкнуто в каждой своей точке, то оно называется локально замкнутым подмножеством пространства Х.
Из этих определений следует, что для локальной замкнутости подмножества М в пространстве Х необходимо и достаточно, чтобы М являлось открытым подмножеством в подпространстве собственного замыкания. У меня возник вопрос: а можно ли ввести понятие локальной замкнутости, не обращаясь к понятию подпространства? Если множество открыто в пространстве Х, то оно открыто и в любом подпространстве пространства Х. Обратное неверно. Множество может быть открытым в подпространстве, но оказаться неоткрытым в объемлющем его пространстве. Я задался вопросом, от чего это зависит. Каждая внутренняя в пространстве Х точка М остается внутренней точкой М и в любом его подпространстве. Следовательно, открытость М в подпространстве может зависеть только от принадлежащих М граничных в пространстве Х точек. Дальнейшие рассуждения будут вестись применительно к подпространству замыкания множества М (эти рассуждения могут быть адаптированы и к другим подпространствам, но и с другими результатами в отношении граничных точек). Итак, рассмотрим множество М в подпространстве его замыкания. Для каждой граничной принадлежащей М точки в пространстве Х каждая окрестность этой точки содержит как точки М, так и точки, не принадлежащие М. Точки, не принадлежащие М, соответственно подразделяются на внешние точки М и граничные точки М, ему не принадлежащие. В подпространстве замыкания каждая окрестность граничной точки М не содержит внешних точек пространства Х. Поэтому окажется ли граничная точка, принадлежащая М, внутренней точкой М в подпространстве замыкания, зависит от существования окрестности этой граничной точки, не содержащей граничных точек М, ему не принадлежащих. Отсюда следует, что М локально замкнуто в данной точке тогда и только тогда, когда у этой точки существует окрестность, не содержащая граничных точек М, ему не принадлежащих. Соответственно с этим утверждением, можно переформулировать определение как локально замкнутого множества в точке, так и локально замкнутого множества. Определение локально замкнутого множества в таком случае звучит так: подмножество М топологического пространства Х называется локально замкнутым, если у каждой его точки существует окрестность, не содержащая его граничных точек, ему не принадлежащих (или, если угодно, его точек прикосновения, ему не принадлежащих). Определение локально замкнутого множества в точке формулируется аналогично. Пример: Рассмотрим в топологии плоскости подмножество Т: круг с выколотым центром и с половиной окружности, причем один конец половины окружности принадлежит Т, а второй конец половины окружности не принадлежит Т. Замыканием подмножества Т является весь круг, включая всю окружность. При этом Т не локально замкнуто только в одной точке, в том самом конце окружности, который включен в множество. Во всех остальных точках Т оно локально замкнуто. Правильны ли мои рассуждения?
|
