Найти функцию (ДУ)

[Imperator]

Известно, что
$x=\frac{8a}{(4+a^2)e^{-\tau}+(4-a^2)e^{\tau}},$
$\frac{\partial\nu}{\partial x}=\frac{4+a^2}{8a}e^{-\tau}-\frac{4-a^2}{8a}e^{\tau},$
$a$ -- какой-то параметр.

Как найти $\nu=\nu(\tau)?$

[ASA]

$\frac{\partial\nu}{\partial \tau}=\frac{\partial\nu}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \tau}$

[Dandan]

выражения похожи на гиперболические функции. Избавтесь от x и попробуйте искать v подобно первообразной th(t)

[Imperator]

ASA, спасибо за подсказку, но как его решить?

У меня получились 2 разных д.у. как варианты для нахождения $\tau=\tau(\nu)$:
1. $\frac{\partial x}{\partial\tau}=\frac{\partial \nu}{\partial x}\cdot x^2;$
2. $\frac{1}{x^2}-(\frac{\partial \nu}{\partial x})^2=\frac{16-a^4}{16a^2}.$
Второе, очевидно, попроще.

Dandan, не совсем понял. У Вас получилось найти то, что требуется?

Можно еще из первого уравнения выразить $e^\tau$ как функцию от $x$ и подставить во второе, затем проинтегрировать обе части второго по $dx.$

[ASA]

Imperator писал(а):

Известно, что
$x=\frac{8a}{(4+a^2)e^{-\tau}+(4-a^2)e^{\tau}},$
$\frac{\partial\nu}{\partial x}=\frac{4+a^2}{8a}e^{-\tau}-\frac{4-a^2}{8a}e^{\tau},$
$a$ -- какой-то параметр.

Как найти $\nu=\nu(\tau)?$

ASA писал(а):

$\frac{\partial\nu}{\partial \tau}=\frac{\partial\nu}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \tau}$

Imperator писал(а):

ASA, спасибо за подсказку, но как его решить?

Чего решить-то? Находим $\frac{\partial\nu}{\partial \tau}$ явно:

$$\frac{\partial\nu}{\partial \tau}=\frac{\partial\nu}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial \tau}=\left(\frac{4+a^2}{8a}e^{-\tau}-\frac{4-a^2}{8a}e^{\tau}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\frac{8a}{(4+a^2)e^{-\tau}+(4-a^2)e^{\tau}}\right).$$

Далее, $\nu=\nu(\tau)=\int \frac{\partial\nu}{\partial \tau} d\tau$. Ну и советом Dandan можно воспользоваться.