Цепочка уравнений в частный производных.

[antoshka1303]

у меня такая задача
Имеется цепочка уравнений.
первое

$$ S = S\left( {x,t} \right) $$ $$ S_t^{'} \pm a\left( x \right)S_x^{'} = 0 $$

C таким начальным условием

$$ \left. S \right|_{t = 0} = x - y = S^0 \left( x \right) $$

второе

$$ 2\left( {S_t^{'} \frac{{\partial \varphi _0 }} {{\partial t}} - a^2 \left( x \right)S_x^{'} \frac{{\partial \varphi _0 }} {{\partial x}}} \right) + \left( {S_{tt}^{''} - a^2 \left( x \right)S_{xx}^{''} } \right)\varphi _0 = 0 $$

с начальным усливием

$$ \left. {\varphi _0 } \right|_{t = 0} = \frac{1} {2}\varphi \left( x \right) $$

3е уравнение.

$$ \left( {\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }} {{\partial tt}} - a^2 \left( x \right)\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }} {{\partial x^2 }}} \right) + 2\left( {S_t^{'} \frac{{\partial \varphi _1 }} {{\partial t}} - a^2 \left( x \right)S_x^{'} \frac{{\partial \varphi _1 }} {{\partial x}}} \right) + \left( {S_{tt}^{''} - a^2 \left( x \right)S_{xx}^{''} } \right)\varphi _1 = 0 $$

C начальным условием

$$ \left. {\varphi _1 } \right|_{t = 0} = 0 $$

Так вот, Первое и второе уравнение я решил, а вот 3е уравнеие никак. Дошел до определенного места... никак не могу избавится от

$$ {S_t^' } $$

ИДЕЯ РЕШЕНИЯ такой цепочки урванений состоит в последовательном выражение одного через другое.Например , используя 2е уравнение я вывел, что

$$ \left( {\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }} {{\partial tt}} - a^2 \left( x \right)\frac{{\partial ^2 \varphi _0 }} {{\partial x^2 }}} \right) = \frac{1} {4}\varphi _0 \left[ {\left( {a^' } \right)^2 - 2aa^{''} } \right] $$

тЕПЕРЬ ЭТО ДЕЛО ПОДСТАВЛЯЕМ В 3 уравнение... куда деть

$$ {S_t^' } $$

?

[shwedka]

вторую скобку в третьем надо выразить из второго уравнения!!!

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

вторую скобку в третьем надо выразить из второго уравнения!!!

я это сделал.
Почучается, что решение однороного уравнения 3, это решение 2. А вот неоднородние 3 сложное...

[shwedka]

antoshka1303 писал(а):

shwedka писал(а):

вторую скобку в третьем надо выразить из второго уравнения!!!

я это сделал.
Почучается, что решение однороного уравнения 3, это решение 2. А вот неоднородние 3 сложное...

Да, сложное. Но решается.
посмотрите в учебном пособии (КАКОЕ???).
Существо дела в том, что благодаря первому уравнению,
комбинация производная во втором члене 3
выражается как производная по однопй лишь переменной>

$$ 2\left( {S_t^{'} \frac{{\partial }} {{\partial t}} - a^2 \left( x \right)S_x^{'} \frac{{\partial }} {{\partial x}}} \right) = \frac{\partial }{\partial g}$$

где g - подходящая фухкция.
Называется 'проиозводная вдоль характеристики'
Неоднородное уравнение 3 сводитсв таким образом к неоднородному линейному ОДУ, для которого решение посмоттрите в книжке по ОДУ.
Я не знаю, какое у вас учебное пособие,
нои все это хорошо разжевано в задачнике
Белов В.В., Воробьев Е.М. "Сборник задач по дополнительным главам математической физики" 1978

[V.V.]

shwedka писал(а):

Я не знаю, какое у вас учебное пособие,
но все это хорошо разжевано в задачнике
Белов В.В., Воробьев Е.М. "Сборник задач по дополнительным главам математической физики" 1978

Да-да! Замечательная книга!
И авторы в МИЭМе работают... Возможно, даже первый автор как раз у Антошки УМФ читает.

[antoshka1303]

V.V. писал(а):

shwedka писал(а):

Я не знаю, какое у вас учебное пособие,
но все это хорошо разжевано в задачнике
Белов В.В., Воробьев Е.М. "Сборник задач по дополнительным главам математической физики" 1978

Да-да! Замечательная книга!
И авторы в МИЭМе работают... Возможно, даже первый автор как раз у Антошки УМФ читает.

Да, читает! Ну и что! Это же слушать невозможно!

[V.V.]

antoshka1303 писал(а):

Да, читает! Ну и что! Это же слушать невозможно!

А мне нравилось!
Хотя, конечно, никакого сравнения с Игорем Витальевичем!

[antoshka1303]

V.V. писал(а):

antoshka1303 писал(а):

Да, читает! Ну и что! Это же слушать невозможно!

А мне нравилось!
Хотя, конечно, никакого сравнения с Игорем Витальевичем!

КАМЕНЕВ - самый классный преподаватель! С ним сравниться только лишь Татьяна Халиловна

[antoshka1303]

скачал Задачник Белова. Не могу найти в нем то,ч оо мне нужно.Просмотрел его лекции - тоже ничего:(

[shwedka]

Вот доберусь завтра до моего университета, посмотрю белова итп.
А пока повторяю.
Решил уравнение

$$ S^\pm_t^{'} \pm a\left( x \right)S^\pm_x^{'} = 0 $$

нашел S^\pm.
перейди к новым независимым переменным $S^\pm$
и уравнение упростится

[antoshka1303]

я всера днем решил все-таки это уравнение и сдал:) Зачет поставили!