Вопрос по поводу открытости и замкнутости.

[ewert]

Phoen1x в сообщении #201716 писал(а):

Я вообще так понял, что именно заданная на множестве топология определяет открытытые множества. Но с таким же успехом топология может определить и замкнутые.

Вы правильно поняли (да, собственно, все Вам тут так и говорили). К этому и сводится абстрактная топология. А если хочется чего-то более конкретного -- так к более конкретным пространствам и надо переходить. Скажем, к метрическим, где вполне конкретная топология индуцирована вполне конкретной метрикой.

[gris]

А мне кажется, что отличие в том, что система открытых подмножеств должна быть замкнута относительно любого объединения и конечного пересечения, а система замкнутых наоборот- любого пересечения и конечного объединения

[Phoen1x]

Хорошё... я разобрался с открытыми и замкнутыми... только вот с открытозамкнутыми осталось некоторое непонимание...

[gris]

Попробуйте объявите интервалы в $R$ замкнутыми множествами, а потом рассмотрите стягивающиеся к одной точе и их пересечение.

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

В топологическом пространстве только оно само и пустое множество являются одновременно открытыми и замкнутыми.. Просто по определению.

Слово только лишнее. Не знаю, откуда он взялось.

[ewert]

А если взять в качестве пространства, скажем, объединение двух непересекающихся интервалов?... (вообще двух пространств, в которых топология задаётся независимым образом)

[Лиля]

Не мучайте себя таким множеством как $R$ проще определите себе множество из 5-6 элементов постройте на ней топологию -разные топологии и все увидите

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

gris в сообщении #201727 писал(а):

В топологическом пространстве только оно само и пустое множество являются одновременно открытыми и замкнутыми.

не правда

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

такое ток в топологиях индуцированных метрикой наблюдаеться

[Someone]

Лиля в сообщении #201770 писал(а):

такое ток в топологиях индуцированных метрикой наблюдаеться

Тоже неправда. Возьмите канторово совершенное множество. Или множество иррациональных чисел.

[Лиля]

Someone в сообщении #201773 писал(а):

Тоже неправда. Возьмите канторово совершенное множество. Или множество иррациональных чисел.

даже так

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

Someone в сообщении #201773 писал(а):

Или множество иррациональных чисел.

а какой метрикой в этом множестве индуцируеться топология?

[Someone]

Обычной. То есть, $\rho(x,y)=|x-y|$. Интервалы с рациональными концами будут открыто-замкнутыми.

[Лиля]

Someone в сообщении #201775 писал(а):

Интервалы с рациональными концами будут открыто-замкнутыми.

вот даж так -вы правы

[Виктор Викторов]

Ваш вопрос очень хорош. Ответ надо искать там, где ноги растут. А ноги растут в множестве вещественных чисел. Вот основные свойства открытых множеств на числовой прямой.

Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.
Пересечение конечной совокупности открытых множеств открыто.
Непустое множество открыто тогда и только тогда, когда каждая его точка внутренняя.

(Точка множества называется внутренней, если она входит в это множество вместе с некоторым открытым интервалом.)

Это то место, откуда растет топология. В общем случае только пустое множество не имеет внутренних точек и по определению считается открытым. А вот замкнутое множество – дополнение до открытого. И тут как придется: в несвязном пространстве может оказаться и одновременно открытым (представьте себе два непересекающихся круга без окружностей: каждый круг открыто-замкнутое множество). Но в общем случае если открытое множество характеризуется типом точек из которых оно состоит, то замкнутое множество может состоять из любых типов точек, но у него не должно быть граничных точек, ему не принадлежащих. Поскольку в множестве, лежащем в топологическом пространстве, может быть только два типа точек  внутренние и граничные, то в замкнутом множестве, как и в любом другом, может быть несколько возможных комбинаций внутренних и граничных точек. Итак, возможны следующие варианты замкнутых множеств:

- замкнутое множество, состоящее только из граничных точек;
- замкнутое множество, состоящее только из внутренних точек (в этом случае оно одновременно и открыто)
- пустое множество (одновременно оно и открыто);
- общий случай – множество состоит из внутренних и граничных точек.

[Точка называется граничной точкой множества М, если каждая ее открытая окрестность содержит как точки данного множества М, так и точки его дополнения CM.]

[ewert]

Someone писал(а):

Обычной. То есть, $\rho(x,y)=|x-y|$. Интервалы с рациональными концами будут открыто-замкнутыми.

Иррациональными.

[AD]

Phoen1x в сообщении #201716 писал(а):

я не встречал конкретного определения для открытого множества

Это нормальная ситуация. Скажем, где вы видели определение вектора? Определяется понятие "векторного пространства", а его элементы начинают для краткости называть векторами. То же самое и здесь: вводится понятие "топологии" (семейства множеств, удовлетворяющего таким-то требованиям), а множества, принадлежащие топологии, начинают называть открытыми.

[Someone]

ewert в сообщении #202045 писал(а):

Иррациональными.

Вы неправильно прочли.

Someone в сообщении #201773 писал(а):

множество иррациональных чисел

[ewert]

Someone в сообщении #202361 писал(а):

Вы неправильно прочли.

Да, неправильно прочёл. Но моя версия всё равно лучше.