Спроецировать 3-сферу

[Droog_Andrey]

Собственно, хотелось узнать, существуют ли равноугольные проекции 3-сферы на плоское 3-пространство, помимо стереографической? Попытался построить аналогичную проекции Меркатора, но не получилось.

[Droog_Andrey]

Судя о всему, таких проекций более не существует. И это вроде даже как очевидно стало после того, как научился наглядно представлять 4-объекты, их движение, замощения 3-сферы многогранниками, разные координатные сетки и т.п. (весёлое весьма занятие, кстати, особенно когда на дежурстве скучно...)

Хорошо бы доказать теперь...

[Droog_Andrey]

http://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_ ... dimensions

Вроде бы изучен давно этот вопрос...

Неужто на математическом форуме никто подсказать не может-то?

[Brukvalub]

Обозначим символами

\[S^3 \;,\;R^3 \]

трехмерную сферу и трехмерное евклидово пространство соответственно.
Обозначим также символами

\[f:S^3 \to R^3 \;,\;h:S^3 \to R^3 \]

произвольное конформное отображение и стереографическую проекцию сферы на пространство соответственно.
Тогда отображение

\[f \circ h^{ - 1} \]

определит конформный автоморфизм пространства

\[R^3 \]

.
Теперь позовем на подмогу дедушку Лиувилля.
Теорема Лиувилля (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9B%D0%B8%D1%83%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D1%8F_%D0%BE_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%D1%85) : Всякое конформное отображение области евклидова пространства R^n при n > 2 можно представить в виде конечного числа суперпозиций — изометрий и инверсий.
С помощью этого нехитрого приема Вы получите описание всех конформных отображений

\[f:S^3 \to R^3 \]

.

[Droog_Andrey]

Вот натыкался же на эту теорему, но не догадался применить её к $f \circ h^{-1}$.

Т.е. имеем, помимо стереографической, аналоги конических проекций. Они-то и не давали мне покоя.

Спасибо за помощь