Найти распределение функции случайного аргумента

[Kamila]

Пожалуйста, подскажите, не могу решить задачу по теории вероятностей
Дана случайная величина x - равномерно распределенная на интервале [-1,2].

$$y= 1-x^2$$

Требуется записать ф.р. F(y).

Добавлено спустя 27 минут 22 секунды:

Использовала формулу для нахождения плотности распределения y:

$$g(y)=f(\varphi(y))*\left|\varphi'(y)\right|$$

Но результат не радует. Что-то делаю не так, хотя вроде бы все учитываю (многозначность x и то, что функция случайного аргумента y д.б. монотонна).

[GAA]

Если нужно найти функцию распределение $F(y)$, то проще не искать плотность, а сразу находить эту функцию:
$F(y) = P\{1-x^2 < y\} = P\{|x| > \sqrt{1- y}\} = \ldots$

Добавлено спустя 11 минут 51 секунду:

Доходчивое изложение нахождения функции и плотности распределения имеется в § 12.3 Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента [1].

1. Венцтель Е.С. Теория вероятностей (4-е изд.). — М.: Наука, 1969 (djvu).

[Kamila]

Спасибо, вот такая получилась ф.р. y .

$$F(y)=1- \frac {\sqrt{1- y}+1} 3 + \frac {- \sqrt{1- y}+1} 3 $$

Чтоб проверить правильность решения, дифференцировала ф.р., затем находила определенный интеграл от пл-ти распределения y от -3 до 1. К моему стыду, он не равен 1. Значит, где-то ошибка. Не могу понять где?

[--mS--]

Kamila писал(а):

Спасибо, вот такая получилась ф.р. y .

$$F(y)=1- \frac {\sqrt{1- y}+1} 3 + \frac {- \sqrt{1- y}+1} 3 $$

Одно и то же при всех $y\in (-3,\,1)$? Или всё же при $y \in (-3,\,0)$ другое выражение? Функция распределения величины $X$ в точках $\pm\sqrt{1-y}$ далеко не при любом $y$ равна

$$\frac{\pm\sqrt{1-y}+1}{3}$$

.

[Kamila]

$$F(y)=\left\{ \begin{array}{l} 0, y \leqslant {- \frac 5 4},\\ 1- \frac {\sqrt{1- y}+1} 3 + \frac {- \sqrt{1- y}+1} 3, y \in (- \frac 5 4,\,1),\\ 1, y \geqslant 1 \end{array} \right. $

Так?

[GAA]

Нет.
Приведите подробное решение.

[--mS--]

Да, не так. Откуда какие-то $-5/4$?

Kamila, смотрите: у Вас

$$F(y)=\mathsf P(|X| > \sqrt{1-y})=\mathsf P(X < -\sqrt(1-y))+\mathsf P(X > \sqrt(1-y))$$

.

Каждая из этих вероятностей зависит от того, лежит ли соответствующая точка $\pm\sqrt{1-y}$ на отрезке $[-1,\, 2]$ или нет. Ситуаций при $y < 1$ три: либо отрезок $[-\sqrt{1-y}, \, \sqrt{1-y}]$ целиком лежит в отрезке $[-1,\, 2]$, либо правый край лежит, а левый нет, либо отрезок $[-1,\, 2]$ целиком внутри отрезка $[-\sqrt{1-y}, \, \sqrt{1-y}]$.

[Kamila]

$$F(y)=\left\{ \begin{array}{l} 0, y \leqslant {3},\\ 1- \frac {\sqrt{1- y}+1} 3, y \in [- 3,\,0], \\ 1- \frac {\sqrt{1- y}+1} 3 + \frac {- \sqrt{1- y}+1} 3, y \in [0,\,1],\\ 1, y \geqslant 1 \end{array} \right. $

Спасибо за терпение, извините, что торможу

[--mS--]

Вот это верно.

[Kamila]

--mS-- писал(а):

Вот это верно.

Благодарю за помощь