Помогите разобраться с интегрированием (от сложного основани

[Cave]

Конкретно в случаях корня вида $(x^2 + 1)^{\frac 3 2}$ или вообще вида $(x^2 + a^2)^{\frac n 2}$ удобно сделать замену $x = \sh t$ ($x = a\sh t$ соответственно). В приведенном выше примере она сразу дает результат через переменную $t$. Затем надо вернуться к $x$ через соотношение из определения.

[nechaeff]

Cave спасибо, попробую!

еще один интеграл:

$$\int \frac {2^x3^x}{9^x-4^x} dx$$

сразу видно,

$$\int \frac {2^x3^x}{3^{2x}-2^{2x}} dx$$

но вот что делать дальше?

[gris]

Разделите числитель и знаменатель на $4^x$ и сделайте замену. Увидите какую. $t=a^x$

Добавлено спустя 1 минуту 57 секунд:

Вообще идея такая: привести все степени к одному основанию.

[nechaeff]

to gris спасибо большое! Все решилось в лучшем виде!

[nechaeff]

вот тоже вопрос:

$$\int \frac {1}{\sin^2x \cos x} dx$$

ясно:

$$\int \frac {1}{(1-\cos^2x) \cos x} dx$$

а дальше как его преобразовывать?

[ShMaxG]

Можете домножить числитель и знаменатель на косинус и в числителе занести косинус под дифференциал. Соответствующей заменой сведется к интегралу от рациональной функции

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

$$ \frac{1} {{t^2 \left( {1 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} = \frac{1} {{t^2 }} + \frac{1} {2}\left( {\frac{1} {{1 - t}} + \frac{1} {{1 + t}}} \right) $$

Добавлено спустя 11 минут 25 секунд:

А еще можно по частям, вспомнив что

$$ \left( {\operatorname{ctg} x} \right)' = - \frac{1} {{\sin ^2 x}} $$

. Тогда задача сведется к вычислению

$$ \int {\frac{1} {{\cos x}}dx} $$

, который считается аналогичным вышеописанному методом.

[nechaeff]

ShMaxG спасибо, с косинусом под дифференциал хорошо получилось, решил.
А через

$$\ctg x$$

получится:

$$ \int {\frac {d{(\ctg x)}} {\cos x}} $$

а дальше?

[ewert]

А дальше предлагалось проинтегрировать по частям, что и порождает тот самый интеграл от единицы на косинус. Но практически это довольно нелепо, если только этот интеграл в вашей тусовке не считается табличным.

[ShMaxG]

По частям:

$$ \int {\frac{{d\left( {\operatorname{ctg} x} \right)}} {{\cos x}}} = \operatorname{ctg} x \cdot \frac{1} {{\cos x}} - \int {\operatorname{ctg} xd\left( {\frac{1} {{\cos x}}} \right)} $$

[nechaeff]

ShMaxG, ewert спасибо за помощь!

к сожалению

$$\int {\frac{1} {{\cos x}}$$

был не табличный в моей "тусовке"

[ShMaxG]

nechaeff
Так я же сказал, что этот интеграл вычисляется домножением на косинус, занесением косинуса под дифференциал и переходом к интегралу от рациональной функции.

[Someone]

nechaeff в сообщении #201335 писал(а):

$$\int \frac {1}{\sin^2x \cos x} dx$$

Один из стандартных приёмов: поскольку $\cos x$ здесь в нечётной степени, делаем подстановку $t=\sin x$.

[nechaeff]

ShMaxG я так и сделал, все решил. Спасибо!