Задача по многочленам

[BapuK]

При каком условии $(x+1)^n - x^n -1$ делится на $x^2 + x +1$
решил уравнение $x^2+x+1=0$ нашел 2 комплексных корня $x_{1,2}=\frac {-1\pm i \sqrt{3}} 2$
подставил корни в многочлен, попытался разрешить относительно n и ничего не вышло, видимо что то не так делаю, подскажите

[Dandan]

Используйте то, что с ростом $n$ модуль $|(x_{1,2}+1)^n|$ стремится к 0, а $x_{1,2}^n=x_{1,2}^{(n\rm mod 3)}$

[BapuK]

к сожалению то что модуль $|(x_{1,2}+1)^n|$ при высоких n стремится к нулю это неточный метод, должно решаться без предела

[ИСН]

Подставьте корни в многочлен. Там же все числа игрушечные, корни из единицы, в степень возводятся как нечего делать.

[Dandan]

deleted

[BapuK]

сделал так: взял $x_1$ рассмотрел случаи при $n\equiv0(mod 3), n\equiv 1 (mod 3), n \equiv 2(mod 3)$ в единственном случае равенство оказалось верным - при $n\equiv 1( mod 3)$ проверил этот же случай со вторым корнем - все верно, т.е. как я понимаю единственное условие делимости это то, что $n\equiv 1 (mod 3)$ ?

[ИСН]

Общая идея какая-то такая, да. Только почему mod именно 3?

[Dandan]

ах, с модулем я прогнал, $(x_{1,2}+1)$ тоже лежит на единичной окружности.
$n\equiv 1 (mod 3)$ не верно. Но идея правильная, только надо рассматривать $n ~\rm mod ~6$

[BapuK]

mod 3 т.к. корни второго многочлена это корни 3 степени из 1, тогда почему надо рассматривать по модулю 6?
хмм и точно $n\equiv 1(mod 3)$ неверно, хз как считал О_о нада перепроверить

[Dandan]

$(x_{1,2}+1)$ корень 6й степени из 1

[ewert]

Если $x_1=-{1\over2}+i{\sqrt3\over2}$, то $x_1^3=1$, в то время как $(x_1+1)^3=-1$. Поэтому период равен именно шести. Достаточно просто в лоб проверить начальные $n=0,1,2,3,4,5$. Но лучше перейти к показательной форме записи и получить уравнение $\cos{\pi n\over3}={1\over2}$.

[BapuK]

$-{1\over2} +i{\sqrt{3}\over2}=\cos{2\pi\over3}+i\sin{2\pi\over3}$
$x_1+1={1\over2} + i{\sqrt{3}\over2}=\cos{\pi\over3}+i\sin{\pi\over3}$
$(x_1+1)^n+x^2-1=0$
$\cos{\pi n\over3}+i\sin{\pi n\over3}+\cos{2\pi n\over3}+i\sin{2\pi n\over3}-1=0$
$\cos{\pi n\over3}+\cos{2\pi n\over3}-1=0$ и $\sin{\pi n\over3}+\sin{2\pi n\over3}=0$
$\sin{\pi n\over3}\sin{\pi n}=-{1\over2}$ и $\sin{\pi n}\cos{\pi n\over3}=0$
из 2-го следует, что $\cos {\pi n\over3}=0$
и отсюда $n={3\over2} + 3k, k\in Z$,что естественно чушь, потому что n не может быть дробным... где я накосячил? уже раза 4 к такому прихожу \=

[ewert]

BapuK в сообщении #201209 писал(а):

... где я накосячил?

Не "$+x^2$", а "$-x^n$".