AC-функция распределения независимых случ. величин

[id]

Прошу проверить данное решение задачки ( и поправить, если что не так):

Пусть даны независимые случайные величины $\{ \xi_i \}_{i=1}^n$ и функция совместного распределения $F_{\xi_1 ... \xi_n} (x_1,...,x_n) = \prod\limits_{i=1}^n F_{\xi_i}(x_i)$.
Пусть более того дано, что $F_{\xi_1 ... \xi_n} (x_1,...,x_n) = \int\limits_{t_1=-\infty}^{x_1} ... \int\limits_{t_n=-\infty}^{x_n} p_{\xi_1 ... \xi_n} (t_1,...,t_n) dt_n...dt_1$.

Доказать, что тогда $p_{\xi_1 ... \xi_n} (t_1,...,t_n) = \prod\limits_{i=1}^n p_{\xi_i}(t_i)$ ( равенство можно считать выполненым почти всюду )

Соображения:
$\prod\limits_{i=1}^n F_{\xi_i}(x_i) = \int\limits_{t_1=-\infty}^{x_1} ... \int\limits_{t_n=-\infty}^{x_n} p_{\xi_1 ... \xi_n} (t_1,...,t_n) dt_n...dt_1$.
Для любого фиксированного $i$ возьмём $x_i=x_i$, для $j \neq i \ x_j=+\infty$, подставим в формулу выше и воспользуемся теоремой Фубини, поменяв порядок интегрирования:
$F_{\xi_i}(x_i) = \int\limits_{t_i=-\infty}^{x_i} \rho_i (t_i) dt_i$ ( тут $\rho_i$ - интеграл от плотности по соответствующему $n-1$ мерному пространству )
Подставив обратно, получим
$\prod\limits_{i=1}^n F_{\xi_i}(x_i) = \prod\limits_{i=1}^n \int\limits_{t_i=-\infty}^{x_i} \rho_i (t_i) dt_i = \int\limits_{t_1=-\infty}^{x_1} ... \int\limits_{t_n=-\infty}^{x_n} \prod\limits_{j=1}^n \rho_j (t_j) dt_n...dt_1$
Далее нужно, видимо, применить теорему Радона-Никодима: оба представления функции распределения задают одну и ту же вероятностую меру, а, значит $p_{\xi_1 ... \xi_n} (t_1,...,t_n) = \prod\limits_{i=1}^n p_{\xi_i}(t_i)$ почти всюду.

[Imperator]

С решением согласен. Ошибок не вижу.

[id]

Imperator
Спасибо!

Надеюсь, все действительно верно.