Случайная величина задана функционалом

[FfuRikK]

Вот полное задание:
Имеется три случайных величины $ (X_1,X_2,X_3), законы распределения которых и их параметры – известны. Эти случайные величины объединены функционалом в случайную величину $ Y(вид функционала $ Y= \frac {X_1+X_2+X_3} {X_2}).
1) СВ $ X_1 задана по нормальному закону распределения с параметрами $ M_x=2 и $ \sigma(x)=3;
2) СВ $ X_2 задана по закону распределения Пуассона с параметром $ M_x=4;
2) СВ $ X_3 задана по закону распределения Пуассона с параметром $ M_x=6;

Необходимо:
1.Найти аналитический вид функции плотности распределения $ f(Y) , для чего:
a)Найти математическое ожидание $ Y;
b)Найти дисперсию $ Y;
c)Найти третий центральный момент $ Y;
d)Найти характеристическую функцию через разложение в ряд Маклорена с использованием первого и второго моментов.
e)Найти аналитический вид выражения для $ f(Y) через обратное преобразование Фурье.
2.Построить в Excel статистический закон распределения для Y (объем – 100 чисел).
3.Проверить правильность нахождения $ f(Y) для уровня значимости $ \gamma=0.95 , используя:
a)Критерий согласия хи-квадрат ;
b)Критерий согласия Колмогорова- Смирнова.
Если результат окажется неудовлетворительным, то повторить пункты 1.d…3 с учетом третьего момента.
4.Построить корреляционную модель для $ Y первого и второго порядка.
5.Оценить качество корреляционных моделей : самих моделей и значимость их коэффициентов. Скорректировать модели.
6.Сделать вывод о лучшей модели (исходя из анализа упрощенной аналитической модели, выровненной регрессионной модели первого порядка и выровненной регрессионной модели второго порядка).

Теоретические сведения:

"Плотность распределения"
Введем обозначение: $ f(x)=F'(x)
Функция $f(x) — производная функции распределения — характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения(иначе«плотностью вероятности») непрерывной случайной величины $X.
Иногда функцию $f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины $X.
(Литература - Вентцель Е.С. "Теория вероятностей")

Мой ход решения:

Я начал с поиска и составления функций распределения для СВ $ X_1, $ X_2 и $ X_3, вот что я получил:
1) Так как СВ $ X_2 и $ X_3 изменяются по закону распределения Пуассона, то получим
$ P_{X2}= \frac {4^x} {x! e^4} и $ P_{X3}= \frac {6^x} {x! e^6}.
2) СВ $ X_1 изменяется по нормальному закону и получим уравнение для нее
$ F(X_1)= \frac 1 {3\sqrt{\pi 2}} \int\limits_{-oo}^{x} e^\frac{-(t-2)^2 }{18} dt
3) (?) Теперь в соответствие с функционалом надо построить функцию распределения для $ Y. Тут и возник у меня вопрос - нужно просто подставить полученные функции $ F(X_1), $ F(X_2) и $ F(X_3) в $ Y= \frac {X_1+X_2+X_3} {X_2} или какой-то иной ход дальнейших действий? Подскажите пожалуйста.

И вот еще - ведь получается что СВ $ X_1 это непрерывная величина, а СВ $ X_2 и $ X_3 это дискретные величины ,от сюда возникает вопрос - не нужны никакие дополнительные ограничения(условия) для функции распределения СВ $ Y ?

[gris]

Случайная величина задаётся функцией распределения или плотностью. Функция распределения даже суммы двух случайных величин выражается не так просто - через свёртку.
Если же Вам надо найти определённые параметры распределения - матожидание, дисперсию - то есть соответствующие формулы.
Чем у Вас задаются случайные величины и что надо найти?

[ASA]

Непонятно, в чем именно нужна помощь. Итак, $X_1, X_2, X_3$ - случайные величины и $f(x_1,x_2,x_3)$ - функция. Известно, что если $f(x_1,x_2,x_3)$ - борелевская (в частности, непрерывная) функция, то $Y=f(X_1,X_2,X_3)$ - тоже случайная величина. Для произвольных $f$ $Y$ может и не быть СВ.

[GAA]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться (M)" в карантин.
0. Приведите условие задания полностью; желательно указать рекомендованную Вам литературу.
1. Приведите определения понятий, используемых в формулировке задания.
2. Наберите правильно формулы.
Прочтите тему Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться.

[GAA]

Возвращаю.

[Henrylee]

Сразу бросается в глаза, что $Y$ не определена на событии $\{X_2=0\}$ с ненулевой вероятностью.
И, кстати, про независимость с.в. $X$ что-ибудь известно?

[--mS--]

Henrylee писал(а):

И, кстати, про независимость с.в. $X$ что-ибудь известно?

Из жизни, в похожей ситуации:

Цитата:

- В первой задаче ничего не сказано про независимость случайных величин X и Y?
- Преподаватель сказала: "пусть будут независимые." =)

[FfuRikK]

Henrylee писал(а):

Сразу бросается в глаза, что $Y$ не определена на событии $\{X_2=0\}$ с ненулевой вероятностью.
И, кстати, про независимость с.в. $X$ что-ибудь известно?

Обьясните пожалуйста ваше суждение про $\{X_2=0\}$.
Про независимость - ничего не сказано.

[--mS--]

FfuRikK писал(а):

Обьясните пожалуйста ваше суждение про $\{X_2=0\}$.
Про независимость - ничего не сказано.

В знаменателе стоит нуль с вероятностью $\mathsf P\{X_2=0\}=1/e^4 > 0$. Поэтому $Y$ не определён с положительной вероятностью, поэтому не является случайной величиной, поэтому не имеет плотности распределения, не имеет математического ожидания, не имеет дисперсии, не имеет третьего момента, не имеет характеристической функции и, наконец, не имеет ряда Маклорена для неё.

[ASA]

$X_2$, $X_3$ - дискретные СВ. Большой вопрос с существованием плотности СВ $Y$.

[FfuRikK]

Сегодня уточнил у преподователя про СВ X_2 и X_3 - они изменяются по закону Пуассона, но не по дискретному, а по равномерному (он связан со временим). Поэтому все величины являются равномерными

[--mS--]

Дайте определение, что такое "равномерный закон Пуассона"

Добавлено спустя 9 минут 27 секунд:

ASA писал(а):

$X_2$, $X_3$ - дискретные СВ. Большой вопрос с существованием плотности СВ $Y$.

Если бы Y была случайной величиной, вопрос остался бы? Вы считаете, что сумма дискретной и абсолютно непрерывной (независимых) величин не имеет плотности распределения?

[ASA]

--mS-- писал(а):

ASA писал(а):

$X_2$, $X_3$ - дискретные СВ. Большой вопрос с существованием плотности СВ $Y$.

Если бы Y была случайной величиной, вопрос остался бы? Вы считаете, что сумма дискретной и абсолютно непрерывной (независимых) величин не имеет плотности распределения?

Сумма имеет плотность, но там есть деление. Если предположить, что $X_2$ - дискретная СВ и п.н. не равна 0. Что тогда? Не знаю.

Добавлено спустя 14 минут 13 секунд:

Хотя? Если $F_\xi(x)$ - функция распределения $\xi=X_1+X_2+X_3$ и $P(X_2=y_i)=p_i$, то то функция распределения СВ $\frac{\xi}{X_2}$ есть

$$F(x)=P\left(\frac{\xi}{X_2}<x\right)=\sum_{y_i>0} p_i F_\xi(y_i x)+\sum_{y_i<0} p_i [1-F_\xi(y_i x)],$$

а ее плотность

$$f(x)=F'(x)=\sum_{y_i>0} p_i y_i f_\xi(y_i x)-\sum_{y_i<0} p_i y_i f_\xi(y_i x)=\sum_{y_i\neq 0} p_i |y_i| f_\xi(y_i x)$$

при условии равномерной сходимости рядов. Здесь $f_\xi(x)$ - плотность $\xi$.

[--mS--]

ASA писал(а):

Хотя? Если $F_\xi(x)$ - функция распределения $\xi=X_1+X_2+X_3$ и $P(X_2=y_i)=p_i$, то то функция распределения СВ $\frac{\xi}{X_2}$ есть

$$F(x)=P\left(\frac{\xi}{X_2}<x\right)=\sum_{y_i>0} p_i F_\xi(y_i x)+\sum_{y_i<0} p_i [1-F_\xi(y_i x)],$$

Это неверно, поскольку случайные величины $X_2$ и $\xi$, вообще говоря, зависимы.

[ASA]

--mS-- писал(а):

ASA писал(а):

Хотя? Если $F_\xi(x)$ - функция распределения $\xi=X_1+X_2+X_3$ и $P(X_2=y_i)=p_i$, то то функция распределения СВ $\frac{\xi}{X_2}$ есть

$$F(x)=P\left(\frac{\xi}{X_2}<x\right)=\sum_{y_i>0} p_i F_\xi(y_i x)+\sum_{y_i<0} p_i [1-F_\xi(y_i x)],$$

Это неверно, поскольку случайные величины $X_2$ и $\xi$, вообще говоря, зависимы.

Да, согласен. Ошибочка . Но все легко поправить.
Если $F_\xi(x)$ - функция распределения $\xi=X_1+X_3$ и $P(X_2=y_i)=p_i$, то то функция распределения СВ $\frac{\xi+X_2}{X_2}$ есть

$$F(x)=P\left(\frac{\xi+X_2}{X_2}<x\right)=\sum_{y_i>0} p_i F_\xi(y_i( x-1))+\sum_{y_i<0} p_i [1-F_\xi(y_i (x-1))].$$