Пространства последовательностей

[Lister]

Задача 1:
Доказать, что множество $M_n = \left \{ x \in l_2 | \sum\limits_{k=1}^{n} {x_k} = 0 \right \} $ является бесконечномерным замкнутым подпространством в $l_2$. Описать какое-либо замкнутое подпространство $N_n$ такое, что $l_2 = M_n \oplus N_n$. Однозначно ли оно определяется?

Собственно, решение: Рассмотрим множество $N_n = \left \{ y \in l_2 | y_1 = y_2 = ... = y_n = \alpha \in \{ \mathbb R^+ \setminus \{ 0 \} \} ; y_{n+1} = y_{n+2} = ... = 0 \}$. Тогда $ (M_n) ^{\bot} = N_n}$, ибо если $ x = (x_1, x_2, ...) \in M_n ,$ $y = (y_1, y_2, ...) \in N_n$, то $(x, y)_{l_2} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} {x_k y_k} = \alpha \sum\limits_{k=1}^{n} {x_k} + 0 \sum\limits_{k=n+1}^{\infty} {x_k} = 0 $ Далее, $N_n$ - замкнутое бесконечномерное подпространство в $l_2$ (то, что $N_n$ является линейным многообразием - очевидно, по поводу замкнутости хотелось бы более строго - можно ли сказать, если мы имеем некоторую последовательность точек ${\{\gamma_n\}^{\infty}_{n=1} \subset N_n$, сходящуюся к некоторому элементу $\gamma^{'} \in l_2$, то $\gamma^{'} \in N_n$, т.к. $||\gamma_n - \gamma^{'}||_{l_2} \to 0, n \to \infty$, где норма разности $\gamma_n$ и $\gamma^{'}$ в силу специфики последовательности $ {\{\gamma_n\}^{\infty}_{n=1}$ есть сумма конечного числа положительных слагаемых, ну а т.к. первые $n$ координат любой точки из $N_n$ - константы, а остальные - нули, то для сходимости требуется, чтобы члены последовательности $\gamma^{'}$ также обладали аналогичным свойством, т.е. $\gamma^{'} \in N_n$. Ну а если $N_n$ - замкнутое подпространство в $l_2$, то его ортогональное дополнение $M_n$ также является замкнутым подпространством, и справедливо разложение $l_2 = M_n \oplus N_n$. Причем $N_n$ определяется с точность до константы $\alpha$, т.е. мы можем построить континуум таких подпространств. Пройдут здесь такие рассуждения?
Задача 2:
В вещественном пространстве $l_2$ введем новое скалярное произведение $(x,y)_{\lambda} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} {\lambda_k x_k y_k}$ для $x={\{\ x_k\}^{\infty}_{k=1}, y={\{\ y_k\}^{\infty}_{k=1}$, где $0 < \lambda_k \leq 1$ при $k \geq 1$. Является ли полученное пространство гильбертовым? Какое дополнительное условие на ${\{\ \lambda_k\}^{\infty}_{k=1}$ необходимо и достаточно наложить для того, чтобы пространство было гильбертовым?
Собственно, никак не удается найти пример расходящейся фундаментальной последовательности в этом пространстве - есть подозрение, 'гильбертовости' пространства мешает условие $0 < \lambda_k$ - возможно, нужно потребовать для $\lambda_k$ отграниченности от нуля или чего-то в этом духе, но на ум ничего конкретного, к сожалению, не приходит.
Заранее благодарю!

[ewert]

Lister в сообщении #199927 писал(а):

Задача 1:

Всё гораздо проще: $M_n$ -- по определению является ортогональным дополнением к одномерному подпространству $L$, натянутому на вектор $(1,1,\dots,1,0,0,\ldots)$. Любое ортогональное дополнение, а значит и $M_n$, всегда линейно и замкнуто. При этом $L$ (будучи линейным и замкнутым в силу конечномерности), в свою очередь, является ортогональным дополнением к $M_n$ и, следовательно, совпадает с $N_n$. Бесконечномерность $M_n$ следует из бесконечномерности $l_2$ и конечномерности $L$. Короче -- просто стандартная комбинация стандартных фактов.

---------------------------------------------------------

Lister в сообщении #199927 писал(а):

Задача 2:

Безусловно, для гильбертовости достаточно отделённости лямбд от нуля -- просто потому, что при этом старая и новая нормы будут эквивалентными и, следовательно, полнота пространства по новой норме эквивалентна его полноте по старой. Она же (отделённость от нуля) и необходима. В противном случае достаточно выбрать подпоследовательность $\lambda_{n_k}\to0$ при $k\to\infty$ быстрее, скажем, $2^{-k}$ и построить по ней последовательность векторов $\vec x_k$, в каждом из которых во всех позициях $n_i$ вплоть до $n_k$ стоят единицы, а во всех остальных позициях -- нули. Эта последовательность фундаментальна (за счёт быстрого убывания $\lambda_{n_k}$), но не сходится: предельным вектором должен был бы быть вектор, содержащий единички во всех вообще позициях $n_i$, но такой вектор не входит в $l_2$. Т.е. относительно новой нормы пространство $l_2$ не полно.

[RIP]

ewert в сообщении #199934 писал(а):

При этом $L$ (будучи линейным и замкнутым в силу конечномерности), в свою очередь, является ортогональным дополнением к $M_n$ и, следовательно, совпадает с $N_n$.

А разве запись $l_2 = M_n \oplus N_n$ означает, что $M_n\perp N_n$?

[ewert]

Безусловно означает. Поскольку речь о именно гильбертовом пространстве -- плюсик в кружочке безусловно означает именно ортогональную сумму подпространств, а не просто какую-то там прямую. Для прямых сумм в этой ситуации изобретают какие-нибудь другие обозначения -- ну, скажем, плюсик с точкой наверху.

[Lister]

Благодарю, похоже, со 2й задачей - как раз то, что нужно!