Совместное распределение max и min двух с.в., экспон. распр.

[Vikulyarus]

Помогите разобраться. Случайные величины $\xi$,$\eta$ независимы, распределены по закону $Exp(\lambda)$ каждая. Найти совместное распределение случайных величин $max(\xi,\eta), min(\xi,\eta)$.

[ewert]

Перейдите от плотностей к функциям распределения ("интегральным"), тогда всё сведётся просто к теоремам умножения (в первом случае) или сложения (во втором) вероятностей.

------------------------------------------------------------------------
А-а, совместное. Ну всё равно.

$$\left\{\max(\xi,\eta)<x\rifht\}\cdot\left\{\min(\xi,\eta)<y\rifht\}=\left\{\xi<x\rifht\}\cdot\left\{\eta<x\rifht\}\cdot\left(\left\{\xi<y\rifht\}+\left\{\eta<y\rifht\}\right)=\ldots$$

(имеются в виду операции над событиями). Совместная функция распределения -- это вероятность события в левой части.

[Хорхе]

Все намного проще. Так как распределение $\xi,\eta$ симметрично относительно замены $\xi$ на $\eta$ и наоборот, то плотность совместного распределения минимума $m$ и максимума $M$ -- это${}^1}$

$$ f_{m,M}(x,y) = 2 f_{\xi,\eta}(x,y) 1_{x\le y}. $$

Ну а совместную плотность $f_{\xi,\eta}$ найти легко.


$\hline$
${}^1}$ Строго это доказывается с помошью формулы замены плотности при кусочно однозначном отображении (в данном случае $(x,y) \mapsto (\min\{x,y\},\max\{x,y\}$)