Подобрать сумму

[Falex]

А теперь самое интересное
переходим от частичных сумм к рядам,т.е. к
\sum\limits_{k = 1}^n {[(\sum\limits_{j = 0}^\infty {a_j } } \cdot \lambda _k^j ) \cdot (\sum\limits_{j = 0}^\infty {b_j \cdot z^j } \cdot \lambda _k^j) ]
Как мне здесь сгруппировать по S_m?

[Falex]

Правильно или нет?

[nworm]

Что "правильно или нет"?

[Falex]

Sorry/
Вот так вычисляется остаток:

$$ r_n (z) = f(z) - \sum\limits_{k = 1}^n {P(\lambda _k ) \cdot f(\lambda _k \cdot z)} $$

где

$$ f(z) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {b_j } \cdot z^j ,P(\lambda _k ) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {a_j } \cdot \lambda _k^j $$

Правильно ли я его нашел?

$$ r_n (z) = f(z) - \sum\limits_{k = 1}^n {P(\lambda _k ) \cdot f(\lambda _k \cdot z)} = \sum\limits_{j = 0}^\infty {(z^j \cdot b_j \cdot [1 - \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k \cdot S_{k + j} } ])} $$

[nworm]

А ряды у Вас сходятся?

[Falex]

Допустим,что сходятся.Что из этого?

[nworm]

Если $f(z)$, $P(\lambda _k)$ - абсолютно сходящиеся ряды с действительными или комплексными членами, то в Вашей формуле для произведения рядов и, следовательно, в Вашей общей формуле я ошибок не нахожу.

[Falex]

Хорошо.
Вот.Мне надо этот остаток r_n(z) и оценить.Я лишь знаю,что

$$ \left| {S_k } \right| \le n\left( {\frac{5}{{n - p}}} \right)^{\frac{k}{p}} , где k>n>p $$ $$ b_j = \frac{f^{(j)}(0)}{j!} $$

[Falex]

Добрый день.Есть идеи?

[nworm]

Если Вы меня спрашиваете, то почти нет. Можно попробовать аккуратно оценивать все имеющиеся агрегаты и надеяться на успех. Наверное, надо делать замены чтобы во время промежуточных расчётов формула выглядела проще.

[Falex]

Можно воспользовать неравенством треугольника пару раз,но ведь это в принципе ничего не даст.
Надо как-то получить оценку от b,a,z.
да и показать,что остаток равномерно стремится к нулю при |z|\le ...

[nworm]

Цитата:

Надо как-то получить оценку от b,a,z.

Это не совсем понятно. Что здесь имеется в виду ($b_i$,$a_i$, что-то ещё)?

[Falex]

Именно так:от $a_i,b_i,z$.

[nworm]

Ничего не зная об $a_i$, сходимость не докажите.

[Falex]

Ну а если даже эти ряды не сходящиеся,то как оценить?