Рекуррентные последовательности вычетов

[RIP]

Пусть $\xi_n\in\mathbb Z/m\mathbb Z$ ($n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$) --- последовательность вычетов по модулю $m$, обладающая таким свойством: любое "подслово" в последовательности $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\ldots$ встречается как минимум 2 раза (и, следовательно, бесконечно часто), т.е. для любого $l\in\mathbb N$ существует $t\in\mathbb N$ такое, что $\xi_j=\xi_{j+t}$ при $1\le j\le l$. Докажите, что последовательность сумм $S_n=\xi_1+\xi_2+\ldots+\xi_n$ также обладает этим свойством.

[Хорхе]

Пусть $m$ простое. Этого достаточно, ей-богу.

Надо доказать, что для любого $k$ найдется $l$, что $S_{k,l}=\xi_k+\dots+\xi_{k+l}=0$. Для данного $k$ обозначим $A_k = \{S_{k,l},l\ge 0\}$. Это конечное множество, поэтому $A_{k} = \{S_{k,l},0\le l\le N_k\}$. Пусть теперь $t_k>k$ таково, что $\xi_{k+l}=\xi_{t_k+l}$ для $0\le l\le N_k$. Если вдруг $S_{k,t_k-k-1}\neq 0$, то заметим, что $A_k\supset A_k + S_{k,t_k-k-1}$. Поскольку $m$ --- простое, отсюда $0\in A_k$.

Вру, простого недостаточно, надо степень простого. Там не сильно меняется, мне кажется.

[Dandan]

не знаю как на счет простых m, но вот этого

Хорхе писал(а):

Надо доказать, что для любого $k$ найдется $l$, что $S_{k,l}=\xi_k+\dots+\xi_{k+l}=0$.

явно не достаточно. Так вы только докажете, что повторяются однобуквенные слова.

[Хорхе]

Dandan писал(а):

явно не достаточно. Так вы только докажете, что повторяются однобуквенные слова.

Согласен, исправлю.

Добавлено спустя 22 минуты 11 секунд:

Вроде не проглючил. Простота $m$ не требуется.

Надо доказать, что для любого $n$ найдется такое $l$, что $S_{l} = 0$ и выполняется свойство $P_{l,n}$: $\xi_{j} = \xi_{j+l}$, $1\le j\le n$. Пусть $n$ фиксировано. Обозначим $A = \{S_{l},l\ge1, \text{выполнено }P_{l,n}\}$. Это конечное множество, поэтому $A = \{S_{l},1\le l\le N,\text{выполнено }P_{l,n}\}$. Пусть теперь $t>1$ таково, что $\xi_{j}=\xi_{j+t}$ для $1\le j\le N+3n$. Если вдруг $S_{t}\neq 0$, то заметим, что $A\ni S_{t}$ и $A\supset A + S_{t}$. Отсюда $0\in A$.

[Dandan]

Хорхе писал(а):

... и $A\supset A + S_{t}$.

это место надо бы объяснить поподробней

[Хорхе]

Dandan писал(а):

Хорхе писал(а):

... и $A\supset A + S_{t}$.

это место надо бы объяснить поподробней

$S_{t+j} = S_t + S_{t+1,j-1} = S_t + S_{j}$ для $1\le j\le N$,
последнее выполнено, поскольку $\xi_{j}=\xi_{j+t}$ для $1\le j\le N$.

(Напомню, что $S_{k,l}=\xi_k+\dots+\xi_{k+l}$.)

[RIP]

Ладно, немного обобщим (точнее, вернёмся к исходной постановке).

Будем называть динамической системой пару $(X,T)$, где $X$ --- компактное топологическое пространство, а $T\colon X\to X$ --- непрерывное отображение. Рекуррентной точкой этой системы будем называть точку $x\in X$, являющуюся предельной для последовательности $T^nx$.

Пусть $K$ --- компактная топологическая группа. Последовательность $\xi_n\in K$ ($n\in\mathbb N$) назовём рекуррентной, если она является рекуррентной точкой динамической системы $(X,T)$, где $X=K^{\mathbb N}$ (с тихоновской топологией), а $(Tx)_n=x_{n+1}$. Верно ли, что для любой рекуррентной посл-ти $\xi_n$ последовательность $\eta_n=\xi_1\xi_2\ldots\xi_n$ тоже рекуррентна?

P.S. Случай, когда $K$ удовлетворяет первой аксиоме счётности, почти тривиален (достаточно, чтобы понятия предельной точки последовательности и предела подпоследовательности совпадали), а что делать в общем случае, я пока не знаю.