Остаток полинома

[nbyte]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить задачу

Если поделить полином f(x) на x-2 то получается остаток 1, если на (x+2) то остаток -1, на (x-3) остаток 3.
Какой будет остаток если поделить f(x) на (x^2-4)(x-3)?

Я думаю что ответ 3. Так как -1 + 1 + 3. Но это наверно нетак.
Извините что я много задаю вопросов, просто завтра контрольная и у меня скопились вопросы но незнаю где спросить.

[Хорхе]

Теорема Безу: остаток от деления $f(x)$ на $x-a$ равен $f(a)$.

[nbyte]

Тоесть тут тогда так
f(2)*f(-2)*f(3)=1*(-1)*3=-3
?

[Хорхе]

Нет, не так. Запишите по теореме Безу $f(x) = f_1(x)(x-2) + 1$.
Найдите отсюда и из условия $f_1(-2)$. Запишите т. Безу для $f_1(x)$. То же самое проделайте с числом $3$. В конце получите
$f(x) = f_3(x) (x-2)(x+2)(x-3) + \text{остаток}$.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Конечно, есть способ, который может быть и попроще, если вдуматься, какую степень может иметь остаток.

[nbyte]

Неособо всеровно понял
Допустим $f_1(2)$=1, $f_2(-2)$=-1, $f_3(3)$=3 по теореме Безу и что дальше.
Не понимаю.

[Хорхе]

$f_1(x) = f_2(x) (x+2) + \text{остаток}_1$.
$f_2(x) = f_3(x) (x-3) + \text{остаток}_2$. Подставляете и находите.

[nbyte]

А как f_3(x) расписать, ато начал решать, дошел до f_3(x) и незнаю как расписать.

[Хорхе]

А не надо его расписывать, подставили $f_2(x) = f_3(x) (x-3) + \text{остаток}_2$ в $f_1(x) = f_2(x) (x+2) + \text{остаток}_1$, а это в $f(x) = f_1(x)(x-2) + 1$, и имеем $f(x) = f_3(x) (x-2)(x+2)(x-3) + \text{остаток}$.

[nbyte]

У вышло -9, а какнибудь можно проверить?

[Хорхе]

Не может выйти $-9$. Должен выйти квадратный трехчлен.

Добавлено спустя 4 минуты 11 секунд:

Ладно, раз уже подсказал про трехчлен, второй способ.

Пишем $f(x) = f_3(x) (x^2-4)(x-3) + r(x)$, далее находим из условия $r(2),r(-2), r(3)$ и составляем три уравнения на коэффициенты (квадратного трехчлена!) $r(x)$.

[nbyte]

Это звучит как-то страшно для меня.

Цитата:

квадратный трехчлен

В смысле корни его?

[Хорхе]

nbyte писал(а):

Цитата:

квадратный трехчлен

В смысле корни его?

В смысле $ax^2 + bx+c$.

Остаток от деления многочлена на многочлен -- тоже многочлен (в общем случае).

[nbyte]

А тогда понятно. Просто я думал что должен быть как число. Поэтому я умножал только числа.
(В смысле без x)