Каноническое разложение полинома над полем

[nbyte]

Первоначальный заголовок темы: «Коническое разложение полинома над полем» // GAA
___________________________________________________________________

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить задачу

Нужно найти коническое разложение
$x^5-10x^4+24x^3+9x^2-33x-12$
над $\mathbb{Q}$

Точно как решать незнаю, но пробовал найти корни перебором и ненашол.

[Xaositect]

nbyte в сообщении #197853 писал(а):

коническое разложение

Каноническое?

У этого многочлена есть целый корень.
Согласно известной теореме, он делит свободный член.

[nbyte]

Цитата:

У этого многочлена есть целый корень.
Согласно известной теореме, он делит свободный член.

А Какой корень? И как теорема?
(Я в этом деле не силён)

Добавлено спустя 8 минут 18 секунд:

Правильно-ли я понимаю, что для того чтобы найти корни.
Можно например числа +-1, +-1/2, +-1/4, +-1/6, +-1/12 подставить в многочлен и проверить, если он будет равен 0 то это число будет являтся корнем многочлена.
Тоесть таким способом можно найти все корни или нет?

[Xaositect]

nbyte писал(а):

Цитата:

У этого многочлена есть целый корень.
Согласно известной теореме, он делит свободный член.

Какой корень? И как теорема?
(Я в этом деле не силён)

Теорема о рациональных корнях многочлена.
Ну а какой корень - всего 10 вариантов. Ищите.
Или поставьте maxima, она вам корни выдаст.

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

nbyte писал(а):

Правильно-ли я понимаю, что для того чтобы найти корни.
Можно например числа +-1, +-1/2, +-1/4, +-1/6, +-1/12 подставить в многочлен и проверить, если он будет равен 0 то это число будет являтся корнем многочлена.
Тоесть таким способом можно найти все корни или нет?

Не +-1, +-1/2, +-1/4, +-1/6, +-1/12, а $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$
И не все корни, а только рациональные

[nbyte]

Нашел корень 4 и что дальше с ним делать?

[Brukvalub]

nbyte в сообщении #197871 писал(а):

Нашел корень 4 и что дальше с ним делать?

Вспомнить т. Безу.

[nbyte]

Цитата:

Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a)

И что дальше?

[Brukvalub]

А дальше найти частное и продолжить искать его рац. корни.

[gris]

Поделите многочлены в столбик.

[nbyte]

Имею (x^4-6*x^3+9*x+3)(x-4)
Полином x^4-6*x^3+9*x+3 не имеет корней, что дальше?

[Brukvalub]

nbyte в сообщении #197886 писал(а):

что дальше?

Все сделано.

[nbyte]

Хмммм. Спасибо.
Я ещё хочу спросить, а могло-ли быть так.
Если в полиноме x^4-6*x^3+9*x+3 был-бы корень.
Но при поиске корней в (x^4-6*x^3+9*x+3)(x-4) перебором я ненашол-бы его?

[Brukvalub]

nbyte в сообщении #197891 писал(а):

Я ещё хочу спросить, а могло-ли быть так.
Если в полиноме x^4-6*x^3+9*x+3 был-бы корень.
Но при поиске корней в (x^4-6*x^3+9*x+3)(x-4) перебором я ненашол-бы его?

Какой корень? Если рациональный корень, то он обязательно содержался бы в перебираемом множестве и пропустить его Вы могли только из-за ошибки в вычислениях.

[nbyte]

Тоесть можно в принципе так решать.

Сначала найти все корни. А потом разделить полином на (x-первый корень)(x-второй корень)...(x- n корень)
И записать (результат деления)*(x-первый корень)(x-второй корень)...(x- n корень)
?

[Brukvalub]

Именно так и нужно решать.