Односвязность и тривиальность фунд. группы

[id]

Читая книгу по алгебраической топологии, наткнулся на данное определение односвязности (1):

Цитата:

Непустое топологическое пространство $X$ называется односвязным, если оно линейно связно и всякая петля в нём гомотопна 0.

В то же время, уже довольно давно помню другое определение односвязности (2):

Цитата:

Область, граница которой - связное множество, называется односвязной.

Возникает естественный вопрос об эквивалентности этих определений. Они эквивалентны? Очень смущает пример $(0,1) \times \mathbb{R}$, оно же вроде как неодносвязно в смысле (2), но односвязно в смысле (1)?

Вопрос не совсем праздный, поскольку импликация (2) $\to$ (1) используется при доказательстве ряда теорем из компл. анализа.

[Gafield]

Цитата:

Область, граница которой - связное множество, называется односвязной.

Про случай с неодносвязной границей в определении ничего не говорится. Кстати, может, это не определение, а утверждение?

А прежде чем говорить об эквиалентности, тут неплохо бы определить, что такое граница топологического пространства.

[id]

Gafield
Так граница области ( в примере ) ведь именно что несвязна вообще.

Граница области из примера состоит из двух компонент связности, однако, кажется, такая область будет односвязной в смысле (1). Граница же кольцевого сегмента на плоскости - не будет односвязной ни в первом, ни во втором смысле.

Что касается границ топологического пространства - да, есть такой непонятный момент. Пока что я рассматривал области в некотором общем пространстве, чтобы имело смысл говорить о границах, с индуцированной топологией ( т.е. чтобы имели смысл оба определения ).

Добавлено спустя 5 минут 20 секунд:

P.S. Просто эти два определения ( не знаю, имеет ли место хотя бы какая-нибудь из импликаций ) из совершенно разных книг, первое - из "Задачной топологии", второе - из Александрова.

[Gafield]

Тогда неплохо было бы посмотреть определение области. Может, там идет речь об ограниченных связных открытых подмножествах в $\mathbb R^n$.

[id]

Определение области обычное, связное открытое множество. ( Замечу - именно связное, т.е. из одной компоненты связности, про связность границы ничего не говорится ).

P.S. Что касается применения этого утверждения в компл. анализе - то на подобное натыкался в Шабате, первая часть ( интегральная теорема Коши, теорема о монодромии со следствиями, например ).

[id]

Посмотрел Картана, "Элементарная теория аналитических функций", так там тоже односвязной называется область, в которой всякий замкнутый путь стягивается в точку.

В общем, если кто-то знает, как действительно связаны число компонент связности границы и тривиальность фундаментальной группы - прошу, у меня идей что-то особых нет.

[Someone]

id в сообщении #197325 писал(а):

В то же время, уже довольно давно помню другое определение односвязности (2):

Цитата:

Область, граница которой - связное множество, называется односвязной.

Не помню, чтобы когда-нибудь встречал такое определение.

[id]

Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию, глава 4, параграф 3. Да ладно бы только Александров, ведь в том же Шабате дается именно такое определение односвязности, после чего используется голословное утверждение о том, что в такой односвязной области все замкнутые пути гомотопны 0.

Добавлено спустя 9 минут 15 секунд:

Пример, показывающий что отсутствует импликация в одну сторону, вроде как в первом посте привел. В обратную сторону что-то такое не придумывается. Может, есть какая-нибудь лемма?

[ewert]

А нужно ли это? Вроде как в комплексном анализе принципиальна именно гомотопность точке, а зачем может понадобиться связность границы?

[AD]

Someone в сообщении #197638 писал(а):

Не помню, чтобы когда-нибудь встречал такое определение.

А мне кажется, что оно очень популярно. Потому что не надо полчаса объяснять, что такое "стягиваться в точку". Встречал не раз в нескольких курсах.

[Someone]

id в сообщении #197698 писал(а):

Александров, Введение в теорию множеств и общую топологию, глава 4, параграф 3.

Нашёл. Но там прямо сказано, что речь идёт об ограниченных областях на плоскости, причём, под областью понимается связное открытое множество.

В $\mathbb R^3$ никакой эквивалентности гомотопическому определению, естественно, не будет. И даже утверждения в одну сторону не будет (примеры - шаровой слой и полноторие).

[id]

Хм, да, в $\mathbb{R}^3$ полноторие замечательно отметает оставшуюся импликацию...
Остается только вопрос, как это все будет на плоскости, действительно ли на плоскости есть импликация $(2) \to (1)$, которую активно использует Шабат.