2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18  След.
 
 
Сообщение22.03.2009, 03:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
epros в сообщении #196833 писал(а):
Так я не понял, каков ответ? Для любой совокупности натуральных чисел любое натуральное число будет "своим" или нет?


"Своим" будет только то, которое этой совокупности принадлежит (является её элементом). По-моему, я это прошлый раз написал. У разных совокупностей разные "свои" элементы.

epros в сообщении #196833 писал(а):
Я дал определение "такому понятию". Можете "считать" вместе со "всеми остальными" про конечные и бесконечные множества всё, что угодно, но это не имеет никакого отношения к вопросу о том, что я имею в виду, когда употребляю термин "актуальная бесконечность".


То есть, это Ваше собственное изобретение. Вопрос исчерпан. Такое "понимание" "актуальной бесконечности" - это Ваша собственная проблема, к математике отношения не имеющая.

epros в сообщении #196833 писал(а):
А я Вам о чём твержу? О том, что типы не являются объектами предметной теории, ибо определяются свойствами, а не предметными переменными или константами. Поэтому в предметной теории не может быть утверждения о "существовании" типа или о наличии у него каких либо свойств (например, свойства "конечности").


Ладно, цитируем учебник (Введение, пункт 7). Цитату с определениями различных свойств у "несуществующих" типов я уже приводил: http://dxdy.ru/post196244.html#196244.

Б.А.Кушнер писал(а):
Говоря о месте понятия множества в конструктивной математике, следует подчеркнуть его подчинённую, техническую роль; по существу, речь идёт лишь об удобном варианте терминологии. Термины "множество" и "свойство" считаются синонимами; задание множества конструктивных объектов какого-то типа (ниже рассматриваются множества слов в некотором алфавите) состоит в формулировании свойств объектов этого типа, а принадлежность конструктивного объекта множеству означает, что этот объект обладает соответствующим свойством.


Б.А.Кушнер писал(а):
Строгое использование множеств предполагает фиксацию формализованного логико-математического языка (см., например, Шанин [4]), средствами которого формулируются свойства (под свойствами понимаются однопараметрические формулы данного языка). При этом сами множества оказываются конструктивными объектами (словами в некотором алфавите) и, в частности, могут выступать в качестве исходных данных алгорифмов.


Б.А.Кушнер писал(а):
Мы будем использовать обычные теоретико-множественные обозначения. ...


(Здесь объясняется, как определяется подмножество, объединение, пересечение, дополнение, произведение множеств.)

Нормальным называется множество, задаваемое нормальной формулой с одной свободной переменной, то есть, формулой, не содержащей квантора существования и дизъюнкции.

Б.А.Кушнер писал(а):
Основные используемые нами множества (а, следовательно, и соответствующие им переменные) нормальные. Таковы множества натуральных, целых, рациональных и конструктивных действительных чисел, множество всех нормальных алгорифмов в данном алфавите, перечислимые множества, множество конструктивных действительных функций. Так же, как с нормальными множествами, мы будем обращаться с множеством всех алгорифмических операторов, действующих из одного конструктивного метрического пространства в другое.


Вы по-прежнему будете утверждать, что множество натуральных чисел $\mathscr H$ в конструктивном анализе не существует и не является объектом теории? Или что оно, вопреки своему определению, содержит не все натуральные числа?

Alexey Romanov в сообщении #196980 писал(а):
А с аксиомой выбора появляются такие странные объекты, как множества, неизмеримые по Лебегу.


Ага. Только отсутствие аксиомы выбора не означает автоматически отсутствие неизмеримых множеств. А совсем без аксиомы выбора континуум может оказаться объединением счётного множества счётных множеств. И где тогда у нас будет мера Лебега?

Alexey Romanov в сообщении #196980 писал(а):
В теории типов (о которой epros говорит) $x \in A$ даже не является высказыванием.


epros ничего не говорит ни о какой теории типов. Он просто называет множества типами. И $x\in\mathscr A$ в конструктивном анализе прекрасно является высказыванием. Откройте книжку Кушнера и посмотрите.
Я также говорю не о теории типов, а о теории множеств ZFC. О том, что множества ZFC можно интерпретировать как ограниченные свойства. И не требовать, чтобы все элементы множества "существовали одновременно" (я не понимаю, как можно было бы сформулировать в ZFC или в конструктивном анализе, что элементы множества "существуют" "одновременно" или "не одновременно").

epros в сообщении #196833 писал(а):
Так давайте договоримся об определениях. Я понимаю конечность, очевидно, таким же образом, как "финитность" у Кушнера. Тип является конечным, если есть алгоритм, который перечисляет все объекты данного типа и завершается.


Я об этом уже говорил. Определение финитного множества процитировано здесь: http://dxdy.ru/post196244.html#196244. Я понял причину разногласий, этого мне достаточно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 10:41 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Цитата:
Alexey Romanov в сообщении #196980 писал(а):
А с аксиомой выбора появляются такие странные объекты, как множества, неизмеримые по Лебегу.

Ага. Только отсутствие аксиомы выбора не означает автоматически отсутствие неизмеримых множеств. А совсем без аксиомы выбора континуум может оказаться объединением счётного множества счётных множеств. И где тогда у нас будет мера Лебега?

То, какие объекты мы считаем странными, а какие -- нормальными, зависит от того, какие аксиомы мы приняли, а не наоборот. В частности, при чуть иной истории математики, мы вполне могли бы рассматривать линейные пространства без базисов наравне с всюду непрерывными и нигде не дифференцируемыми функциями или вполне-порядком
на множестве действительных чисел как необычные, но существующие объекты.

Цитата:
Alexey Romanov в сообщении #196980 писал(а):
В теории типов (о которой epros говорит) $x \in A$ даже не является высказыванием.

epros ничего не говорит ни о какой теории типов. Он просто называет множества типами. И $x\in\mathscr A$ в конструктивном анализе прекрасно является высказыванием. Откройте книжку Кушнера и посмотрите.

Дело в том, что конструктивную математику можно строить на основании теории множеств, а можно -- на основании теории типов. Точно так же и классическую математику можно строить на основании $ZFC$, а можно на основании $HOL$. (А ещё есть и другие теории множеств и теория категорий, которые тоже можно использовать как основание).

Кушнер использовал теорию множеств. Бишоп -- тоже. Это неудивительно хотя бы потому, что оба учебника были написаны до развития теории типов.

Цитата:
Я также говорю не о теории типов, а о теории множеств ZFC. О том, что множества ZFC можно интерпретировать как ограниченные свойства.

Как тогда обосновать аксиомы

1) существования множества всех подмножеств;

2) выделения (для произвольных свойств);

3) основания;

4) выбора?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 12:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Alexey Romanov писал(а):
Если среди аксиом теории есть утверждение, что у Маши есть возраст. Но (если возраст Маши -- натуральное число) тогда в конструктивной логике это тоже выводится!

Я перечислил четыре аксиомы:
A) Маша старше 20-ти лет.
B) Маша не старше 30-ти лет.
C) Если Маша старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Васю.
D) Если Маша не старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Колю.

Аксиомы A) и B) можно записать так, что они будут означать "существование" возраста Маши в виде числа больше 20-ти и не больше 30-ти. Но это будет означать, что эти аксиомы сами по себе неконструктивны, поскольку способа вычислить конкретное число теория не даёт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 12:31 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
epros писал(а):
Alexey Romanov писал(а):
Если среди аксиом теории есть утверждение, что у Маши есть возраст. Но (если возраст Маши -- натуральное число) тогда в конструктивной логике это тоже выводится!

Я перечислил четыре аксиомы:
A) Маша старше 20-ти лет.
B) Маша не старше 30-ти лет.
C) Если Маша старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Васю.
D) Если Маша не старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Колю.

Аксиомы A) и B) можно записать так, что они будут означать "существование" возраста Маши в виде числа больше 20-ти и не больше 30-ти. Но это будет означать, что эти аксиомы сами по себе неконструктивны, поскольку способа вычислить конкретное число теория не даёт.

Вот именно. Если записать эти аксиомы в таком виде, то и в классической и в конструктивной логике мы можем из них вывести, что у Маши есть муж.

Так что я не вижу никакого конструктивного понимания этих аксиом, при котором конструктивист 1) может их принять 2) может из них вывести, что неверно, что у Маши нет мужа 3) не может из них вывести, что у Маши есть муж.

И соответственно, в качестве примера неснимаемого двойного отрицания это не годится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Someone писал(а):
Такое "понимание" "актуальной бесконечности" - это Ваша собственная проблема, к математике отношения не имеющая.

То, что Вы не понимаете какое отношение имеет сформулированное определение понятия к математике, это уже Ваша проблема.

Someone писал(а):
Вы по-прежнему будете утверждать, что множество натуральных чисел $\mathscr H$ в конструктивном анализе не существует и не является объектом теории? Или что оно, вопреки своему определению, содержит не все натуральные числа?

Вот я смотрю на все приведённые Вами цитаты (включая выделенные жирным части) и не вижу в них ничего противоестественного. Однако я не вижу и вывода об актуальном существовании бесконечного множества, который Вы из них почему-то делаете.

Someone, я же Вам уже всё объяснил про "существование" $\mathscr{H}$ в конструктивном анализе, только не говорите мне, что Вы ни черта не поняли. Утверждение о существовании $\mathscr{H}$ является мета-теоретическим, а не относящимся к предметной теории. Вы же вроде бы сами где-то говорили о том, что не надо путать мета-теоретические утверждения с предметными. Мета-теория занимается только правилами написания буковок в предметной теории, поэтому она может сказать, что количество объектов предметной теории, которые обладают свойством $\mathscr{H}$, не является конечным. Но она ничего не может утверждать о существовании такого "объекта" предметной теории, как $\mathscr{H}$.

А ZFC утверждает существование такого объекта в том же самом смысле, с котором утверждается существование пустого множества или множества из одного элемента. Чувствуете разницу?

Someone писал(а):
epros ничего не говорит ни о какой теории типов. Он просто называет множества типами.

Я называю множества, которые в силу их конечности могут существовать в предметном мире, "совокупностями". А типами я называю объекты совсем другого логического уровня, которые назызваны "множествами" у Кушнера (и я полагаю, что названы неудачно).

Someone писал(а):
я не понимаю, как можно было бы сформулировать в ZFC или в конструктивном анализе, что элементы множества "существуют" "одновременно" или "не одновременно"

А вот так:
$\exists x (x = \emptyset) \wedge \exists y (y = \omega_0)$

Понятное дело, что "одновременно" здесь никакого отношения ко "времени" не имеет.

Добавлено спустя 25 минут 6 секунд:

Alexey Romanov писал(а):
epros писал(а):
Я перечислил четыре аксиомы:
A) Маша старше 20-ти лет.
B) Маша не старше 30-ти лет.
C) Если Маша старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Васю.
D) Если Маша не старше 25-ти лет, значит она вышла замуж за Колю.

Аксиомы A) и B) можно записать так, что они будут означать "существование" возраста Маши в виде числа больше 20-ти и не больше 30-ти. Но это будет означать, что эти аксиомы сами по себе неконструктивны, поскольку способа вычислить конкретное число теория не даёт.

Вот именно. Если записать эти аксиомы в таком виде, то и в классической и в конструктивной логике мы можем из них вывести, что у Маши есть муж.

Так что я не вижу никакого конструктивного понимания этих аксиом, при котором конструктивист 1) может их принять 2) может из них вывести, что неверно, что у Маши нет мужа 3) не может из них вывести, что у Маши есть муж.

И соответственно, в качестве примера неснимаемого двойного отрицания это не годится.

Придумать такой детсадовский пример двойного отрицания было несколько затруднительно, но я не согласен, что он так уж "не годится".

Во-первых, две первые аксиомы я добавил только для того, чтобы привести примеры доказуемых и опровержимых утверждений в той же теории. Для вывода о невозможности несуществования у Маши мужа они не нужны.

Во-вторых, формулировки "старше стольки-то" и "не старше стольки-то" совсем не обязательно интерпретировать как утверждения о возрасте, измеряемом натуральным количеством лет (и, соответственно, привешивать к этой теории арифметику Пеано). Это Nxx заговорил о "возрасте", а мне такое понятие для вывода о невозможности несуществования у Маши мужа не требуется. Мне достаточно того, что высказывание "Маша не старше 25-ти лет" является отрицанием высказывания "Маша старше 25-ти лет".

В третьих, я полагаю, что конструктивный анализ не лишён прав рассматривать неконструктивные теории. Даже если в теории есть неконструктивные аксиомы, мы имеем право такую теорию "рассматривать" (хотя, конечно же, не можем её "принять"). "Рассматривать" - в данном случае означает понять, какие из этих аксиом возможны выводы с использованием конструктивной логики. Эти выводы, конечно же, не будут приняты, поскольку теория не является конструктивной. Но сам факт, что такие-то выводы могут быть сделаны, а такие-то - нет, примечателен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 13:46 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Цитата:
я не понимаю, как можно было бы сформулировать в ZFC или в конструктивном анализе, что элементы множества "существуют" "одновременно" или "не одновременно"

В $ZFC$ существует кумулятивная иерархия:

$V_0 = \varnothing;$

$V_{\alpha+1} = \mathcal P(V_\alpha);$ для любого ординала $\alpha$.

$V_\beta = \bigcup_{\alpha < \beta} V_\alpha$ для любого предельного ординала $\beta$.

Тогда $V_\omega$ содержит все натуральные числа фон Неймана, a $V_{\omega+1}$ содержит $\omega$. Кроме того мы можем доказать, что $\bigcup_\alpha V_\alpha = U$, где $U$ -- собственный класс всех множеств.

Поэтому мы можем представить, что все множества можно построить, начиная с пустого множества и применяя трансфинитное количество раз операцию $\mathcal P$ (а потом один раз взять элемент) -- сначала $V_1$, потом $V_2$ и т.д., потом $V_{\omega+1}$... Таким образом, мы можем представить, что "сначала" (в некотором смысле) существовали натуральные числа, а "потом" их собрали в множество $\omega$. См., например, книгу Шенфилда "Математическая логика", где вся теория множеств строится с этой позиции.

Конструктивно этой иерархии не существует. В частности, не получится доказать существование $V_{\omega+1}$ и поэтому утверждение, которое в $ZFC$ обозначает $\omega \in V_{\omega+1}$ тоже нельзя доказать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 13:48 


20/07/07
834
Какой смысл делать выводы из бессмысленных аксиом? Если у Маши нет возраста, то и высказывание "Маша старше 25-ти лет" бессмысленно, как и утверждение, что $$\lim_{x\to\infty} \sin x <2$$, потому что предела этого нет. Если же теория постулирует, что возраст у Маши есть, то из этого, несомненно следует и что муж у Маши есть.

Правда аксиома, утверждающая, что возраст у Маши есть, без указания, где его брать, делает систему аксиом противоречивой. Вот если аксиома звучит так "возраст у Маши есть и он записан у нее в паспорте", то без сомнения, и муж у Маши есть (и тоже записан в паспорте, хе-хе).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 14:08 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Цитата:
Мне достаточно того, что высказывание "Маша не старше 25-ти лет" является отрицанием высказывания "Маша старше 25-ти лет".

Слона-то я и не приметил! Тогда я снимаю возражение, из этого действительно следует то, что надо, без всяких утверждений о возрасте.

Добавлено спустя 13 минут 38 секунд:

Nxx писал(а):
Какой смысл делать выводы из бессмысленных аксиом? Если у Маши нет возраста, то и высказывание "Маша старше 25-ти лет" бессмысленно, как и утверждение, что $$\lim_{x\to\infty} \sin x <2$$, потому что предела этого нет.


Вообще-то $$\lim_{x\to\infty} \sin x <2$$ понимается обычно как сокращение $\exists y ~ y = \lim_{x\to\infty} \sin x \land y < 2$. Так что оно не бессмысленно, а ложно.

Что Вы думаете насчёт утверждения $\lim_{x\to\infty} \sin x <2 \to \lim_{x\to\infty} \sin x <2$? Оно тоже бессмысленно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 14:48 


20/07/07
834
Согласен, оно ложно, если подразумевается ваш квантор. Также ложно и высказывание, что у Маши есть возраст, поскольку возраста у нее нет. Значит, система аксиом внутренне противоречива.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 14:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexey Romanov писал(а):
Что Вы думаете насчёт утверждения $\lim_{x\to\infty} \sin x <2 \to \lim_{x\to\infty} \sin x <2$? Оно тоже бессмысленно?

Конечно бессмысленнр -- стрелочка неправильная.

Nxx в сообщении #197400 писал(а):
, нужно по крайней мере, чтобы этот предел существовал.

Не нужно. Утверждение "из А следует А" верно независимо от истинности или ложности самого А.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 14:58 


20/07/07
834
Цитата:
Не нужно. Утверждение "из А следует А" верно независимо от истинности или ложности самого А.


Если само А имеет смысл.

Верно ли, что

$$x^2 \ge 0$$ независимо от наличия или отсутствия смысла у выражения x?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 15:26 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Цитата:
Конечно бессмысленнр -- стрелочка неправильная.

Вполне нормальное обозначение для импликации, ничем не хуже $\Rightarrow$ и уж тем более $\supset$.

Nxx в сообщении #197400 писал(а):
Также ложно и высказывание, что у Маши есть возраст, поскольку возраста у нее нет.

Возраст в этой системе аксиом нигде не упоминается. Упоминается только свойство натуральных чисел $\mathrm{MashaIsOlder}(n)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 15:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexey Romanov в сообщении #197416 писал(а):
Вполне нормальное обозначение для импликации, ничем не хуже

Оно, может, и было бы ничем не хуже, если бы в том же утверждении та же стрелочка не использовалась для совершенно других целей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 15:33 


20/07/07
834
Цитата:
Возраст в этой системе аксиом нигде не упоминается. Упоминается только свойство натуральных чисел $\mathrm{MashaIsOlder}(n)$.


Так или иначе, это свойство Маши не определено, значит, его нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.03.2009, 15:39 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
ewert в сообщении #197417 писал(а):
Оно, может, и было бы ничем не хуже, если бы в том же утверждении та же стрелочка не использовалась для совершенно других целей.

Не вижу смысла менять обозначения для логических связок из-за того, какие символы входят в выражения, которые они связывают (если есть причины беспокоиться о путанице -- другое дело, но тут я их не вижу).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 261 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group