найти частное решение ОДУ

[Spook]

$$x''+x=\frac{2}{\cos{t}}$$

______________________________________

GAA, моих телепатических способностей не хватило, чтобы увидеть частное решение этого уравнения. Методом вариации постоянной я пробовал, получается вот что:

$$c_1''(t)\sin{t}+2c_1'(t)\cos{t}+c_2''(t)cos{t}-2c_2'(t)\sin{t}=\frac{2}{\cos{t}}$$

. Опять уравнение второго порядка, и опять нужно угадывать. Только искомых функций уже две.
_______________________________________

Вроде дошло как решать. Варьировать нужно было так:

$$ \left\{ \begin{array}{l} c_1'(t)\cos{t}+c_2'(t)\sin{t}=0,\\ -c_1'(t)\sin{t}+c_2'(t)\cos{t}=\frac1^{cos{t}} \end{array} \right. $$

откуда $x(t)=A\cos{t}+B\sin{t}+\cos{t}ln|\cos{t}|+t\sin{t}$.
_______________________________________

V.V., а почему Вы именно так выбрали $K(t-\tau)$?
_______________________________________
V.V., разобрался почему.
_______________________________________


А что, в системах двойной доллар не влияет на размер дробей?

[alex-basik]

Вид частного решения угадать сходу проблематично (если вообще возможно). Но есть выход применить метод вариации произвольных постоянных и, по крайней мере в квадратурах, получите общее решение!

[Sonic86]

Частное решение придется искать методом вариации произвольных постоянных - правая часть не специального вида. Да и не сложно вроде. Только будет какой-нибудь логарифм от косинуса половинного угла.

[V.V.]

По формуле Коши частное решение уравнения $\ddot{x}+x=f(t)$ находится как
$\bar{x}(t)=\int\limits_0^t K(x-\tau)f(\tau)\,d\tau$,
где для данного уравнения
$K(t-\tau)=\sin(t-\tau)$.

[GAA]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин.

Из правил раздела: «В частности, учтите, что если вы просите помощи в решении учебной задачи, то обязательно должны продемонстрировать свои содержательные попытки решения. Темы, содержащие только условие задачи, заведомо окажутся в карантине».

Воспользовавшись приведенными указаниями, продемонстрируйте попытки решения упражнения. После редактирования, напишите в специальную тему Сообщение в карантине исправлено

Добавлено

Spook писал(а):

Варьировать нужно было так:

$$ \left\{ \begin{array}{l} c_1'(t)\cos{t}+c_2'(t)\sin{t}=0,\\ -c_1'(t)\sin{t}+c_2'(t)\cos{t}=\frac1^{cos{t}} \end{array} \right. $$

откуда $x(t)=A\cos{t}+B\sin{t}+\cos{t}ln|\cos{t}|+t\sin{t}$.

Система для нахождения неоднородного уравнения у меня получилась такая же. Но коэффициенты при $t \sin t$ и $\cos t \ln|\cos t|$ у меня другие, проверьте.

Добавлено спустя 8 минут 55 секунд:

Не досмотрел: в системе в правой части второго уравнения пропущена 2.

[ewert]

Spook в сообщении #196784 писал(а):

А что, в системах двойной доллар не влияет на размер дробей?

Вставьте в начало формулы \everymath{\displaystyle}

[photon]

photon:

Переехали в математику

[V.V.]

Spook писал(а):

V.V., а почему Вы именно так выбрали $K(t-\tau)$?

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf стр. 79-80.

[Spook]

GAA писал(а):

Система для нахождения неоднородного уравнения у меня получилась такая же. Но коэффициенты при $t \sin t$ и $\cos t \ln|\cos t|$ у меня другие, проверьте.

Добавлено спустя 8 минут 55 секунд:

Не досмотрел: в системе в правой части второго уравнения пропущена 2.

Это я ее забыл . Теперь два последних слагаемых нужно удвоить:

$$ \everymath{\displaystyle} \left\{ \begin{array}{l} c_1'(t)\cos{t}+c_2'(t)\sin{t}=0,\\ -c_1'(t)\sin{t}+c_2'(t)\cos{t}=\frac2^{cos{t}} \end{array} \right. $$

откуда $x(t)=A\cos{t}+B\sin{t}+2\cos{t}ln|\cos{t}|+2t\sin{t}$. И дробь с косинусом увеличилась (спасибо ewert).

V.V. писал(а):

http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf стр. 79-80.

Да, я разобрался как - надо было просто честно варьировать с правой частью в общем виде, он и получится. Сначала подумал просто, что это Вы подобрали такую замену на основании опыта.

P.S. Я, оказывается, к экзамену по УРвЧП готовился, в основном, по Вашему пособию . А то в Самарском, мне показалось, материал иногда разбросан, а у Вас довольно строго собран.