Лагранжева интерполяция - некоторые вопросы.

[Dim1980]

Для бесконечно-гладкой функции априорная равномерная погрешность приближения на отрезке минимальна, если за узлы интерполяции берутся корни полиномов Чебышева.

При этом известен факт, что чебышевская (равномерная) норма при интерполяции функции Рунге 1/(1+25x*x) по системе равноотстоящих узлов на [-1;1] стремится к бесконечности с увеличением числа узлов.

При этом в некоторых источниках пишут, что на чебышевской сетке такого для бесконечно гладких функции не происходит. Но из вида остаточного члена \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a{\text{,}}\,b} \right]} {\text{ }}\left| {f\left( x \right) - L_n \left( x \right)} \right| \leqslant \frac{{M_{n + 1} }} {{\left( {n + 1} \right){\text{ !}}}}\frac{{\left( {b - a} \right)^{n + 1} }} {{2^{2n + 1} }} где M_{n + 1} : = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a{\text{,}}\,b} \right]} {\text{ }}\left| {f^{(n + 1)} \left( x \right)} \right| непонятно, что мешает найтись бесконечно-гладкой функции, у которой модуль производных с увеличением порядка растет так быстро, что перекрывает сходящийся к 0 множитель.

Какие мнения, существует ли контрпример бесконечно гладкой функции, для которой и Лагранжева интерполяция по сгущающейся сетке корней полиномов Чебышева не дает равномерного стремления получающихся полиномов на отрезке к исходной функции?

[reader_st]

По-моему, есть частные случаю для формулы погрешности в зависимости от вида сетки (сейчас не вспомню).

[Юстас]

Есть только теорема о равномерной сходимости лагранжевой аппроксимации для аналитических функций, и если мне не изменяет память достаточное условие аналитичности
$M_n^\frac{1}{n}\to 0$

[Руст]

Юстас писал(а):

Есть только теорема о равномерной сходимости лагранжевой аппроксимации для аналитических функций, и если мне не изменяет память достаточное условие аналитичности
$M_n^\frac{1}{n}\to 0$

Это сходимость ряда Тейлора на всей оси. Для аналитичности достаточно и
$\lim M_n^\frac{1}{n} <\infty $

[Dim1980]

Так существует пример бесконечно-гладкой неаналитической функции?

[Someone]

Dim1980 писал(а):

Так существует пример бесконечно-гладкой неаналитической функции?

Обозначим

$$\varphi(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}}\text{, если $x\ne 0$,}\\0\text{, если $x=0$.}\end{cases}$$

Эта функция имеет на всей числовой оси производные всех порядков, и все производные ограничены (разными константами).
Точка $x=0$ является особой для этой функции на комплексной плоскости, а формальный ряд Тейлора в точке $x_0=0$ имеет вид $\varphi(x)\sim 0+0\cdot x+0\cdot x^2+\dots+0\cdot x^k+\dots$ и не сходится к этой функции ни на каком интервале.

Пусть $\{r_k:k\in\mathbb N\}$ - последовательность всех рациональных чисел. Тогда функция

$$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\varphi(x-r_k)}{2^k}$$

является искомой. Сам этот ряд и ряды, полученные из него почленным дифференцированием, мажорируемы, и потому абсолютно и равномерно сходятся. Поэтому $f(x)$ имеет производные всех порядков. Эта функция не разлагается в степенной ряд ни на каком интервале, так как множество её особых точек содержит все рациональные числа и, следовательно, всюду плотно на числовой прямой (напомню, что радиус сходимости степенного ряда по степеням $x-x_0$ равен расстоянию от $x_0$ до множества особых точек функции на комплексной плоскости).