2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение остатка от деления многочлена
Сообщение17.03.2009, 23:16 


08/05/08
954
MSK
Решал такую задачку:
Найти частное $T(x)$ и остаток $R(x)$ от деления многочлена
$P(x)=x^{30}-1$ на многочлен $Q(x)=x^5+1$

Задачку решил обычным делением одного многочлена на другой столбиком.
Остаток получился равным нулю,
$T(x)=x^{25}-x^{20}+x^{15}-x^{10}+x^5-1$

Возник вопрос - есть ли другой способ нахождения ( оценки) остатка от деления, когда многочлены больших степеней ( делить столбиком - бумаги не хватит, и пальчики писать устают)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение остатка от деления многочлена
Сообщение17.03.2009, 23:24 


24/03/07
321
$T(x)=(x^5-1)(x^{20}+x^{10}+1)$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение остатка от деления многочлена
Сообщение18.03.2009, 00:10 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Dandan писал(а):
$T(x)=(x^5-1)(x^{20}+x^{10}+1)$ :wink:

Точнее, $T(x)=(x^{10}-1)(x^{20}+x^{10}+1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение остатка от деления многочлена
Сообщение18.03.2009, 07:47 


08/05/08
954
MSK
VAL писал(а):
Dandan писал(а):
$T(x)=(x^5-1)(x^{20}+x^{10}+1)$ :wink:

Точнее, $T(x)=(x^{10}-1)(x^{20}+x^{10}+1)$


Спасибо, но, вроде, мой вопрос был про нахождение ( оценку) остатка от деления.
Т.е. в заданном примере $R(x)=0$, а вот для какого-нибудь др. многочлена, как найти
$R(x)$, не прибегая к делению уголком?
Есть ли иные методы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2009, 08:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, есть ещё теорема Безу в сочетании с заменой переменной (для случаев, аналогичных этому).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2009, 16:54 


08/05/08
954
MSK
ewert писал(а):
Ну, есть ещё теорема Безу в сочетании с заменой переменной (для случаев, аналогичных этому).

А если замена переменных и т. Безу не поможет?
Например, если нужно оценить остаток
$x^{30}-1$ деления на $x^2+x+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение остатка от деления многочлена
Сообщение18.03.2009, 17:01 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
e7e5 писал(а):
как найти
$R(x)$, не прибегая к делению уголком?
Есть ли иные методы?

Равенству $x^{30}-1=(x^5+1)(x^{25}-x^{20}+x^{15}-x^{10}+x^{5}-1)$ можно поставить в соответствие таблицу, в которой первая колонка даёт коэфициенты частного, а последний ряд - остатка.

\begin{tabular}{r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r}
&$0$&$0$&$0$&$0$&$-1$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&$1$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$-1$\\\hline\hline
$1$&$0$&$0$&$0$&$0$&$-1$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$-1$&$0$&$0$&$0$&$0$&$1$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$1$&$0$&$0$&$0$&$0$&$-1$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$-1$&$0$&$0$&$0$&$0$&$1$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$1$&$0$&$0$&$0$&$0$&$-1$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
$-1$&$0$&$0$&$0$&$0$&$1$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline\hline
$0$&$0$&$0$&$0$&$0$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
\end{tabular}

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2009, 17:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
e7e5 писал(а):
А если замена переменных и т. Безу не поможет?
Например, если нужно оценить остаток
$x^{30}-1$ деления на $x^2+x+1$

В общем случае -- никак, любой регулярный метод сведётся к делению уголком, если не учитывать специфику задачи. А, скажем, в последнем случае -- достаточно домножить и разделить на $(x-1)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group