Собственные числа, pivots

[Macrushnik]

Подскажите пожалуйста,
1. "Количество положительный собственных чисел равно количеству положительных центральных точек (pivots) в разложении LU" - откуда это следует? Есть ли какая-то теорема?
2. Можно ли что-то сказать, если собственные числа - комплексные?

[Nerazumovskiy]

2.Ну для того чтобы посчитать собщественные чила нужно быть увереным что многочлен всегда имеет корни над полем, по этой причине нам когда читали лекцию то мы полагали что работаем над полем комплексных чисел, посему собственные числа запросто могут быть комплекными и ничего тут особенного.

[Лиля]

Macrushnik в сообщении #195294 писал(а):

в разложении LU

что такое LU?

[Macrushnik]

Nerazumovskiy в сообщении #195455 писал(а):

2.Ну для того чтобы посчитать собщественные чила нужно быть увереным что многочлен всегда имеет корни над полем, по этой причине нам когда читали лекцию то мы полагали что работаем над полем комплексных чисел, посему собственные числа запросто могут быть комплекными и ничего тут особенного.

Вопрос в том, можно ли что то по pivot'ам что-то сказать о комплексных собственных числах и наоборот? Например, если все pivots положительны, значит ли это, что все реальные части положительны?
Или правило работает только для реальных чисел?

Добавлено спустя 9 минут 12 секунд:

Лиля в сообщении #195463 писал(а):

что такое LU?

Когда мы решаем систему уравнений методом Гауса, мы раскладываем матрицу на две треугольных матрицы: левый треугольник и верхний треугольник. (См, например, команду [l,u]=lu(A) в пакете MATLAB). Pivots (не очень люблю русское "центральные точки") - это элементы, которые остаются на главной диагонали верхней треугольной матрицы. Посмотрев на эти элементы, можно сделать какие-то выводы о матрице: ранг, количество положительных или отрицательных собственных чисел.

В своей задаче я получил матрицу, у которой все pivots отрицательные. Пытаюсь понять, какие выводы из этого можно сделать о собственных числах матрицы. При этом сомнения вызывает случай комплексных чисел.

Добавлено спустя 12 минут 48 секунд:

Лиля в сообщении #195463 писал(а):

что такое LU?

Видеолекции MIT на эту тему - очень даже рекомендую:

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/1 ... ture04.htm

[Macrushnik]

Macrushnik в сообщении #195474 писал(а):

это элементы, которые остаются на главной диагонали верхней треугольной матрицы

Если, конечно у матрицы полный ранг.

Добавлено спустя 46 минут:

Вопрос снят

Мне должно быть стыдно за то, что я второй раз подряд попадаюсь на одном и том же. Оказывается, метод работает только для симметричных матриц, для которых и так все понятно.

Вопрос снят. Спасибо, кто пытался помочь.

[мат-ламер]

Метод работает и для случая несимметрических матриц, но тогда ведущий элемент надо выбирать максимально большим по модулю среди оставшихся элементов путём перестановки строк и столбцов матрицы.

[Macrushnik]

мат-ламер в сообщении #195541 писал(а):

Метод работает и для случая несимметрических матриц, но тогда ведущий элемент надо выбирать максимально большим по модулю среди оставшихся элементов путём перестановки строк и столбцов матрицы.

Как именно нужно менять строки и столбцы, чтобы знаки собственных чисел не изменились? Ведь если мы просто поменяем две строки, то изменится знак определителя, следовательно, как минимум знак одного собственного числа; при этом не понятно, с плюса на минус или с минуса на плюс. Если мы попарно поменяем местами столбцы и строки с одинаковыми номерами, не факт, что новый pivot снова окажется максимальным. Или менять местами нужные строки, а затем любые два столбца правее pivot'а?

[мат-ламер]

Перестановка строк и столбцов делается для того, чтобы вычислительная погрешность не возрастала. Насчёт знаков собстенных чисел не могу сказать ничего, поскольку они могут быть и комплексными. Однако есть связь межу рангом исходной матрицы и количеством ненулевых ведущих элементов.

[Macrushnik]

мат-ламер в сообщении #195582 писал(а):

Однако есть связь межу рангом исходной матрицы и количеством ненулевых ведущих элементов.

С рангом все понятно, интересуют именно собственные числа.