Найдите предел последовательности

[daogiauvang]

ewert писал(а):

Выпишите рекуррентное соотношение между двумя соседними конечными цепными дробями. Переходя к пределу при $n\to\infty$ в этом соотношении, получите квадратное уравнение, которое и даст значение предела $x_n$.

Для формального обоснования сходимости проще всего рассмотреть рекуррентное соотношение между $x_n$ и $x_{n+2}$ -- порождённая им последовательность окажется монотонной.

Cпасибо всем за помощь

Добавлено спустя 43 минуты 3 секунды:

еще такая задача:
Пусть

$$f(x)$$

непрерывна на

$$[a,b]$$

функция, дифф-ма на интервале

$$(a,b)$$

, причем

$$f(0)=0,f(1)=1$$

. Докажите, что существует такие числа

$$a,b \in (0,1) $$

, что :

$$a \neq b $$

и

$$f'(a)f'(b)=1$$

[gris]

Если $f(x)=x$, то $a,b$ - любые. Иначе-
рассмотрим функцию $g(x)=f(x)-x$.
Далее по теореме Лгранжа доказать, что существуют точки с производной разных знаков и использовать свойство Коши для производной дифференцируемой функции - принимать все промежуточные значения.

[Руст]

В формулировке некоторая путаница. По видимому идёт речь непрырывна на [0,1] и непрерывно дифференцируема в (0,1).
Можно ещё рассмотреть $g(x)=f(f(x)), g(0)=0,g(1)=1\to g'(b)=f'(a)f'(b)=1,a=f(b).$

[daogiauvang]

cпасибо большое, gris.
Но наверное нам надо делать так, пусть

$$g(x)=f(x) +x-1$$

а затем ход решения как Вы написали.
Хочу спросить еще две задачи:
Вычислить предел:

$$\lim\limits_{m \to \infty}\left \lim\limits_{n \to \infty} \cos^{2m}(n! \pi x) \right)$$

2. Дана функция: $$a^5-a^3+a=2$. Докажите, что $ 3< a^6<4$.

[gris]

мне понравилось $f(f(x))$.

Да можно и вообще ничего не отнимать. $f(x)$ не равна $x$, значит есть точка, в которой она отлична от $x$, значит по теореме Лагранжа есть две точки, где значения производных лежат по обе стороны от 1.

А во второй задаче надо корень локализовать, что-ли?

[Brukvalub]

daogiauvang в сообщении #193917 писал(а):

Вычислить предел:

$$\lim\limits_{m \to \infty}\left \lim\limits_{n \to \infty} \cos^{2m}(n! \pi x) \right)$$

Вы туточки порядок пределов часом не попутали?

[daogiauvang]

gris писал(а):

мне понравилось $f(f(x))$.

Да можно и вообще ничего не отнимать. $f(x)$ не равна $x$, значит есть точка, в которой она отлична от $x$, значит по теореме Лагранжа есть две точки, где значения производных лежат по обе стороны от 1.

А во второй задаче надо корень локализовать, что-ли?

Я не понял о чем Вы говорили... но
2-я задача: $a$ вещественное число и конечно $a$ является корнем уравнения.

[Brukvalub]

daogiauvang в сообщении #193917 писал(а):

Дана функция: $$a^5-a^3+a=2$. Докажите, что $ 3< a^6<4$.

Функция в левой части равенства - монотонно возрастает.

[daogiauvang]

а что дальше?

[mihiv]

2-я задача:$a\neq1$,$a^3(a^2-1+\frac1{a^2})=2$,следовательно $a^3(2-1)<2$или$a^6<4$.$a^6=a^4-a^2+2a=\frac{a^5-a^3+a}a+2a-1=\frac2a+2a-1>4-1=3$