Уравнение Кеплера (определение координат спутников GPS)

[om777]

В упрощенном виде уравнение имеет сл. вид
$x + a\sin x = b$

[Полосин]

При $-1<a<1$ это называется уравнением Кеплера. В классе непрерывных функций его решение существует и единственно (это следует из теоремы об обратной функции); решение можно построить итерационно (фактически - с помощью метода сжимающих отображений). Для каких значений параметров и неизвестной рассматривается ваше уравнение?

[om777]

Хорошо.Тогда я начну с начала.
Мне необходимо определить координаты навигационного спутника GPS с помощью Кеплеровых елементов.
Вот уравнение :
Мк = Ек - е*sinEк
е - эксцентриситет (для элипса 0<е<1)
Мк - средняя аномалия
Ек - эксцентрическая аномалия
Об размерности двух последних величин у меня нет инфы

[Полосин]

$$ x-\epsilon \sin x = y, -1<\epsilon<1: $$

$$ x_0=y, x_{k+1}=y+\epsilon \sin x_k $$

Легко видеть, что итерационная последовательность фундаментальна, а стало быть, сходится к решению уравнения.

[om777]

При -1<a<1 это называется уравнением Кеплера. В классе непрерывных функций его решение существует и единственно (это следует из теоремы об обратной функции); решение можно построить итерационно (фактически - с помощью метода сжимающих отображений). Для каких значений параметров и неизвестной рассматривается ваше уравнение?

А метод сжимающих отображений - это как?
Может у вас есть более подробная информация

[Бодигрим]

om777 в сообщении #193072 писал(а):

А метод сжимающих отображений - это как? Embarassed

Вам нужно переписать исходное уравнение в виде $x=f(x)$. В вашем случае это по-видимому либо $x=f_1(x)=b-a\sin x$, либо $x = f_2(x)=\arcsin{{b-x}\over a}$. Затем проверить, какое из этих отображений является сжимающим, т. е. у какого из них производная правой части меньше 1 на интервале, внутри которого находится корень. В нашем случае ясно, что этот интервал грубо можно описать как $[b-a,b+a]$ - возможно, из физического смысла задачи у вас есть более точные границы.

Таким образом мы выберем для использования или $f_1$, или $f_2$. Дальше все просто: выбираем начальное значение $x_0$ из выбранного интервала и итерируем по формуле $x_{n+1}=f(x_n)$, где $f$ - это или $f_1$, или $f_2$. Последовательность будет сходиться к корню уравнения.

[Полосин]

Бодигрим, все гораздо проще (см. выше): мы ищем функцию $x=x(y)$, отображение $K[x(y)]=\epsilon\sin x(y)$ - сжимающее, уравнение $x-K[x]=y$ однозначно разрешимо, итерационную последовательность см. выше.

[Lyoha]

om777 писал(а):

Может у вас есть более подробная информация

GPS ICD содержит достаточно подробную информацию.

E_0=M+e*sin(M)
E_{n+1}=M+e*sin(E_n)

Сходимость очень быстрая: при начальном поиске 4-5 итерраций дают стационарный для double результат. При последующих хватает уже одной итеррации.

[om777]

Lyoha писал(а):

GPS ICD содержит достаточно подробную информацию.
E_0=M+e*sin(M)
E_{n+1}=M+e*sin(E_n)

У меня есть документ Icd200c_New, но там я ничего подобного не нашёл
Может у вас другая версия

[Lyoha]

Посмотрел. Да, там даны формулы для нахождения координат по кеплеровским элементам орбиты. Для данного уравнения написано, что можно разрешать итерационно. Собственно, друго разумного метода и нет.

[om777]

Lyoha писал(а):

E_0=M+e*sin(M)
E_{n+1}=M+e*sin(E_n)

Я построил такую последовательность в Mathcad.Там после определённой итерации значения корня всё время повторяются - это и есть решение данного уравнения

Добавлено спустя 28 минут 30 секунд:

Lyoha писал(а):

Посмотрел. Да, там даны формулы для нахождения координат по кеплеровским элементам орбиты. Для данного уравнения написано, что можно разрешать итерационно. Собственно, друго разумного метода и нет.

Раз уж речь зашла о данном документе, возможно вы подскажете что за элемент стоит в формуле для вычесленного среднего движения (n0) - символ похожий на бесконечность - что это?