Уравнение с параметром (ЕГЭ)

[Ilnur]

Столкнулся с задачей (ЕГЭ)
для уравнения
$2^{|ax|}+a|x|=a^2-x$
надо найти все значения $a$, для которых данное уравнение имеет единственное решение?
Вроде задача стандартная... но только в голову ничего не приходит...
Подскажите хотя бы с чего начинать (какой способ применить)... :(

[Droog_Andrey]

Изобразите графически зависимость выражений $2^{|ax|}$ и $a^2-a|x|-x$ от $a$ при разных $x$.

[Ilnur]

т.е. данные функции надо рассмотреть как функции от $a$, а не от $x$

[Droog_Andrey]

По крайней мере, ИМХО так проще увидеть путь к решению

[ShMaxG]

А можно просто разобрать 4 случая и из них соткать ответ.

[Ilnur]

Ответ $a=0$ получается...
Далее решил рассмотреть функции $y=2^{|ax|}$ и $y=a^2-x-a|x|$
при $a>1$, $a=1$, $-1<a<1$ $(a\neq 0)$, $a=-1$, $a<-1$...
получаю второй ответ $a=1$.

Возникает вопрос при $-1<a<1$ $(a\neq 0)$...
может ли в данном случае график функции $y=a^2-x-a|x|$ касаться графика $y=2^{|ax|}$?

[ShMaxG]

Просто избавляйтесь от модулей.

Добавлено спустя 20 минут 44 секунды:

Хотя, может быть я очень опрометчиво сказал, что "можно просто разобрать 4 случая и из них соткать ответ", т.к., думаю, есть способ по-проще, но еще не придумал.

[Полосин]

Это действительно задача из ЕГЭ? Там, похоже, трансцендентное уравнение на отрицательную координату касания при $0<a<1$.

[Ilnur]

Полосин писал(а):

Это действительно задача из ЕГЭ? Там, похоже, трансцендентное уравнение на отрицательную координату касания при $0<a<1$.

Данная задача из сборника тестов "Математика. ЕГЭ-2009". Ответ: 0 и 1.

Если не ошибаюсь, то и при $-1<a<0$.

[Полосин]

Здесь что-то не так: при $0<a<1$ условие на касание приводит к уравнению $f(a)=\frac{1-a}{a\ln2}\left(1-\ln\frac{1-a}{a\ln2}\right)-a^2=0$ с условием $\frac{1-a}{a\ln2}>1$. Но $f(+0)=-\infty$, $f((1+\ln2)^{-1})=1-(1+\ln2)^{-2}>0$, т.е. появляется дополнительное решение (это очевидно и из геометрических соображений).

[ShMaxG]

Ilnur
А там на сборнике случайно не написано "Реальные тесты ЕГЭ" или что-то в этом роде?

[Ilnur]

ShMaxG писал(а):

Ilnur
А там на сборнике случайно не написано "Реальные тесты ЕГЭ" или что-то в этом роде?

Нет!

Книга "Математика. ЕГЭ-2009". Часть II. Учебно тренировочные тесты. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.

Задача из варианта 10 С5: (дословно)

При каких значениях параметра $a$ уравнение $2^{|ax|}+a|x|=a^2-x$ имеет единственное решение?

Ответ: 0 и 1.

[DoGGy]

Схематично график функции:

\[y = 2^{|ax|} \]

Следовательно один корень будет, если график

\[y = a^2 - x - a|x|\]

пройдет через точку (0;1) (неправильно на рисунке отметил точку пересечения с осью игриков), тогда оттуда найдется значение a=1, щас я думаю как отсеять -1.

[ShMaxG]

$a=-1$ не подходит, обязательно пересечение в нуле и где-то при $x<0$ ввиду того, что левая производная в нуле функции

\[ 2^{ - x} \]

по абсолютной величине меньше производной функции

\[ y = 1 - 2x \]

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

А при $x=-5$, например,

\[ 2^5 > 11 \]

.
Вообще, функция

\[ 2^{ - x} \]

выпукла вниз...

Добавлено спустя 7 минут 13 секунд:

А случай

\[ a \in \left( { - 1;1} \right) \]

разбирается совсем просто. Опять же, ввиду выпуклости функции

\[ 2^{\left| {ax} \right|} \]

вниз -- при $x<0$ всегда будет одно пересечение (кроме случая $a=0$), и при

\[ x \geqslant 0 \]

пересечение будет только в нуле. Отсюда и получаем, что подходит только $a=0$.

[Полосин]

ShMaxG, вы ошибаетесь. Если $0<a<1$ и $a$ близко к нулю, то график показательной функции при небольших аргументах будет близок к горизонтальной постоянной, а график прямой - к прямой $y=-x$, из чего следует, что при $x<0$ будет две точки пересечения: одна где-то вблизи (-1,1), а вторая - далеко на бесконечности (поскольку показательная функция все-таки растет быстрее линейной). При увеличении $a$ эти две точки будут сближаться и в какой-то момент совпадут - это будет касание. При дальнейшем увеличении $a$ пересечений уже не будет. Все это вкратце было описано (и доказано) в моем предыдущем сообщении.