читая Серпинского ``О решении уравнений в целых числах''...

[maxal]

Эта тема посвящена совместному прочтению и обсуждению книги
В. Серпинский "О решении уравнений в целых числах"

Книга Серпинского обладает рядом несомненных достоинств:
* она свободно доступна в интернет: http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm
* она написана простым языком и в основном не требует знаний за пределами школьной программы
* она знакомит читателя с наиболее интересными и базовыми результатами в области диофантовых уравнений.
Таким образом, книга безусловно необходима к прочтению всем претендентам на получение хоть каких-то результатов в области диофантовых уравнений.

С другой стороны, книга написана в 1956 и не затрагивает вопросов, получивших развитие в конце XX - начале XXI века. В частности, в ней совсем нет результатов о решении диофантовых уравнений на компьютере. В ней также присутствует некоторое количество опечаток, которые могут ввести неискушенного читателя в заблуждение.

В этой теме я буду постепенно выкладывать свои комментарии к тексту, которые у меня возникли во время его прочтения. Это будут небольшие обзоры текущего состояния затронутых вопросов (в меру моих познаний), дополнения к сказанному Серпинским, отсылки к дополнительной литературе, исправление опечаток и ошибок. Всех остальных (как экспертов, так и новичков) также прошу присоединиться к обсуждению книги со своими комментариями или вопросами. Совместыми усилиями постараемся разобрать эту книгу по косточкам.

[Dandan]

Лучше б чё-нить про эллиптические кривые поразбирали на форуме с таким вниманием ). Может хоть поубавилось бы 'доказателей' ВТФ

[Sonic86]

Я у Серпинского читал "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах".
Меня там одна вещь немного добила: он сравнениями вообще не пользуется.
В результате у него критерий простоты числа Ферма немного неясный. Все-таки язык сравнений повыразительнее, там для этого можно использовать показатели и квадратичные вычеты.

[maxal]

Dandan
Эллиптические кривые тоже затронем. Для затравки скопирую мой комментарий отсюда:

Petern1 в сообщении #189719 писал(а):

В параграфе 13.2 Серпинский пишет « Нелегко доказать, что $x^2+2=y^3$ не имеет решений в натуральных числах, кроме $x=5$ , $y=2$, о чем знал П. Ферма.
Можно доказать элементарным путем, что $x^2+3$ не равно $y^3$ . (Доказательство не приведено).
Уравнение $x^2+7=y^3$ имеет решения в натуральных числах
$x=1 y=2 , x=181 y=32$
Доказано также, что $x^2+44=y^3$ имеет решения в натуральных числах только $x=9, y=5$» Все.
Из сказанного со слов Серпинского следует, что математики проявляли интерес к этой теореме, пытались доказать, вычисляли отдельные случаи. Но увы.

Никаких "увы" тут нет. Все перечисленные уравнения сводятся к поиску целых точек на эллиптических кривых. Морделл доказал, что на любой кривой таких точек лишь конечное число. Существуют также алгоритмы, способные отыскать все такие точки по крайней мере для малых значений коэффициентов.

В частности, уравнение $x^2 + n = y^3$ сводится (переобозначением $x$ и $y$) к т.н. кривой Морделла: $y^2 = x^3 + k$, где $k=-n$. Целые точки на таких кривых были найдены для всех $|k|\leq 10000$ и сведены в базу данных:
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/
Например, уравнение $x^2+2=y^3$ соответствует кривой Морделла $y^2=x^3 - 2$, которая в базе данных имеет такую запись:

E_-00002: r = 1   t = 1   #III =  1
          E(Q) = <(3, 5)>
          R =   1.3495768357
           2 integral points
           1. (3, 5) = 1 * (3, 5)
           2. (3, -5) = -(3, 5)

из которой следует, что единственными целыми точками на ней являются $(x,y)=(3,\pm 5)$.

В качестве альтернативы для нахождения целых точек на эллиптических кривых можно воспользоваться пакетом MAGMA - хотя это и не бесплатный пакет, у него есть бесплатный онлайновый "калькулятор":
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/
Например, чтобы найти целые точки на кривой $y^2=x^3 - 7$, вводим там:
IntegralPoints( EllipticCurve( [0,-7] ) );
и жмем кнопку [Evaluate]. В ответ получаем две точки (с точностью до знака $y$):

[ (2 : 1 : 1), (32 : -181 : 1) ]

то есть, как раз те самые два решения $(x,y)=(2,\pm 1)$ и $(x,y)=(32,\pm 181)$.
Понятно, что "-7" в этом примере можно заменить, например, на "-44", чтобы получить все целые точки на кривой $y^2=x^3 - 44$ и т.д. Попробуйте!

Добавлено спустя 23 минуты 54 секунды:

Мат в сообщении #192387 писал(а):

Эллиптические кривые - мертвая тема.

Вы глубоко заблуждаетесь. Эллптические кривые - одна из самых "горячих" тем в современных исследованиях. В частности, из-за их приложений к факторизации, тестированию простоты, многочисленных применений в криптографии...

[juna]

По-моему, очень хорошая идея, maxal. Можно даже сказать - совместное внимательное прочтение книги с обсуждением.
Только предлагаю не отклоняться от темы. Берем конкретное диофантово уравнение из его книги и обсуждаем - кто-чего нароет.
P.S. Может быть тогда дискуссионный раздел превратится во что-то интересное, вместо бесплодных попыток доказательства ВТФ и др.

[Мат]

По-моему, самое интересное в книжке $a^4+b^4=kp^2$, но там же дается решение:
Вернее там дается решение $a^4+kb^4=p^2$:
$(x^4-ky^4)^4+k(2xyz)^4=(z^4+4kx^4y^4)^2$
Поэтому уравнение $a^4+b^4=kp^2$ в книжке не рассмотрено.
Могу сказать про данное уравнение, что оно не имеет решений ни для каких $k=4q+3$ - простое

[Sonic86]

Мне кажется неконцептуальным (извините за такое слово) рассмотрение уравнения $x^2+x = 2y^2 $. Кажется так. Можно же было выделить полный квадрат, а потом решать разложением в расширениях $\mathbb{Z}$, но Серпинский такие приемы не использует. Немного непонятно выглядит без алгебраических чисел.

[Бодигрим]

Мат в сообщении #192709 писал(а):

Поэтому уравнение $a^4+b^4=kp^2$ в книжке не рассмотрено.
Могу сказать про данное уравнение, что оно не имеет решений ни для каких $k=4q+3$ - простое

Да оно и для составных $k=4t+3$, $t\in\mathbb{Z}$ решения не имеет. Левая часть сравнима по модулю 4 либо с 0 ($a$ и $b$ четные), либо с 1 (одно из них четное, другое - нечетное), либо с 2 ($a$ и $b$ нечетные). А правая в силу $p^2\equiv1\pmod4$ сравнима с $k$, т. е. с 3.

[Мат]

Уравнение Морделла:
$x^2+k=p^3$
имеет решения для всех $k$ таких, что $k=3a^2-1$
Решение имеет вид:
$(a^3-3ka)^2+k=(a^2+k)^3$

Добавлено спустя 28 минут 49 секунд:

Бодигрим писал(а):

Да оно и для составных $k=4t+3$, $t\in\mathbb{Z}$ решения не имеет. Левая часть сравнима по модулю 4 либо с 0 ($a$ и $b$ четные), либо с 1 (одно из них четное, другое - нечетное), либо с 2 ($a$ и $b$ нечетные). А правая в силу $p^2\equiv1\pmod4$ сравнима с $k$, т. е. с 3.

Предлагаю найти решение уравнения:
$a^4+b^4=kp^2$
для любого $k<15$, взаимнопростых $a$ и $b$
$2.$ Решение любого уравнения
$x^n+y^n=kp^2$ при $n>5$
для любого $k<50$, взаимнопростых $a$ и $b$

[Бодигрим]

А, так $p$ в предыдущем сообщении - не обязательно простое?

Мат в сообщении #192978 писал(а):

Предлагаю найти решение уравнения:
$a^4+b^4=kp^2$
для любого $k<15$, взаимнопростых $a$ и $b$

Мне не удалось найти ни одного решения для $a,b<1000$, $15\ge k\ge3$. Зато существует много решений для $k=17=1+2^4$. Например,
$ 1^4+2^4 = 17\cdot1^2 $,
$ 2^4+13^4 = 17\cdot41^2 $,
$ 38^4+43^4 = 17\cdot569^2 $,
$ 314^4+863^4 = 17\cdot182209^2 $,
$ 859^4+1186^4 = 17\cdot385241^2 $...

Решения находятся и для $k=1^4+3^4$:
$ 1^4+3^4 = 82\cdot1^2 $,
$ 9^4+437^4 = 82\cdot21089^2\ldots $

И для $k=2^4+3^4$:
$ 2^4+3^4 = 97\cdot1^2 $,
$ 1006^4+3177^4 = 97\cdot1029961^2\ldots $

Я, правда, пока что не пойму, с чем это связано и какова зависимость между решениями...

[Мат]

Бодигрим
На самом деле мне очень понравились ваши решения и вы абсолютно правы: решениями могут быть только простые $k=16t+1$, поэтому в пределах $100$ решений только два $k=17$ и $k=97$, для $k<15$ решений не существует.
Впрочем, гораздо более интересная задача для участников форума - найти какое-либо решение данной задачи в параметрическом виде. И поскольку минимальное $k=17$, то для $k=17$.

[Бодигрим]

Мат в сообщении #193104 писал(а):

...решениями могут быть только простые $k=16t+1$.

Как это? Я ведь сообщением выше привел найденные решения для $k=82=5\cdot16+2$.

[Мат]

Вы правы. Не заметил. Стало быть, еще существует как минимум три решения $k=34$, $k=41$ и $k=73$.
Простые числа $8k+1$, а я думал $16k+1$. Вот так штука!

[maxal]

Мат в сообщении #192709 писал(а):

Поэтому уравнение $a^4+b^4=kp^2$ в книжке не рассмотрено.

Читайте внимательнее. Частные случаи $k=1,2,3,4,5$ этого уравнения Серпинский обсуждает на стр. 58-59.

[Бодигрим]

Мат в сообщении #193113 писал(а):

Стало быть, еще существует как минимум три решения $k=34$, $k=41$ и $k=73$.
Простые числа $8k+1$, а я думал $16k+1$. Вот так штука!

М-м, хотелось бы каких-то обоснований (читай: доказательств) этого высказывания.