О корректности определений

[AD]

Бодигрим в сообщении #192245 писал(а):

Хм, мне наоборот естественнее всего вводить комплексные числа как расширение поля действительных при помощи элемента произвольной природы, постулируемого решением уравнения $x^2=-1$.

Но для этого уже надо многое понимать в алгебре. Про поля, расширения, ... Первокурсникам в большинстве случаев такое не скажешь. Ну то есть если и скажешь - все равно что $\sqrt{-1}$.

[ewert]

Бодигрим в сообщении #192245 писал(а):

Можно делать это и в обратном порядке, как предлагаете вы, но ИМХО тогда теряется мотивация: почему мы рассматриваем именно двухкомпонентные векторы, почему умножаем именно таким способом. По-моему, первый способ математически элегантнее: мы берем меньше предположений, а следствий выводим больше, а не наоборот.

Может, и элегантнее, но требует привычки к абстрактной алгебре, которая абсолютному большинству народонаселения абсолютно чужда, да и комплексные числа требуются гораздо раньше.

Способ, изложенный Sonic86, совершенно стандартен и хорош как раз тем, что излишняя абстрактность (увы, неизбежная) в нём жёстко локализована. Мы всё-таки неформально исходим из того, что неплохо бы иметь что-нибудь вроде $a+b\sqrt{-1}$ (такое желание естественно возникает при попытке решать квадратные уравнения общего вида). Строим некоторую абстрактную структуру, причём операции над её элементами берутся не с потолка, а именно исходя из тех самых ожиданий. Убеждаемся в том, что элементы этой структуры можно интерпретировать как $a+bi$, где $i^2=1$. И -- всё, дальше обо всех этих абстракциях можно спокойно забыть и работать исключительно с обычной алгебраической записью.

[Sonic86]

ewert
Да, возможно. Я многих способов и не знаю.
Так просто выглядит довольно непротиворечиво. Хотя когда мне первый раз читали, я тоже не понял - на фига так сложно и т.п. Можно и через расширения.
Просто недавно именно через этот способ избавился от проблем, о которых Мат пишет - аот ему и пишу, может тоже поможет.