Заряженная сфера с дырочкой

[ewert]

Munin в сообщении #192122 писал(а):

Ага, а с каким зарядом? А-а, э-э-э, то-то. И потом, какое из этого следует значение поля по центру дырочки?

Естественно, со средней (или минимальной -- это уж как угодно) плотностью по оставшейся сфере.

Насчёт поля в центре -- два раза уже про это говорил, но не трудно и повторить: напряжённость в центре будет в точности равна (в пределах точности аппроксимации, разумеется) половине напряжённости на внешней поверхности основной части сферы.

[AlexNew]

ewert писал(а):

Во-первых, ещё минус поле вырезанного однородно заряженного диска.

Этим полем можно пренебречь, оно не окажет существенного влияние на поле сферы, диск маленький а сфера большая, все отличия будут только в окрестности диска.

ewert писал(а):

Насчёт поля в центре -- два раза уже про это говорил, но не трудно и повторить: напряжённость в центре будет в точности равна (в пределах точности аппроксимации, разумеется) половине напряжённости на внешней поверхности основной части сферы.

нету разницы между внешней и внутренней поверхностей, считайте что сфера толщиной с эклектрон, а еще лучше прикинте порядок малости для разницы полей для толщины сферы значительно меньше радиуса (третьй порядок малости)

Цитата:

Вообще, если уж учитывать краевые эффекты на отверстии, то и кривизну тоже необходимо учитывать.

кривизна не причем...

вот задачка попроще для начала, бесконечная заряженная плоскость с дырочкой.
1) Очевидно дырочку можно считать точкой, (плоскость бесконечная)
2) для начала можно заменить эквивалентной системой: заряд плоскости равен нулю но наша точка заряжена, теперь легко видеть что свободные заряды заряды соберется вдоль нашей точки и на бесконечность противоположного знака.
3) в случае сферы мы наверное получим диполь: дырочка-точка и ее образ на противоположной полусфере.
Поле должно равняется полю сферы и диполя размером d -диаметр сферы.

Использую теория отображений можно отобтазить такую бескочечную плоскость на сферу, совпадет ли это с тем что я описал не знаю.

[ewert]

AlexNew писал(а):

ewert писал(а):

Во-первых, ещё минус поле вырезанного однородно заряженного диска.

Этим полем можно пренебречь, оно не окажет существенного влияние на поле сферы, диск маленький а сфера большая, все отличия будут только в окрестности диска.

Этим полем нельзя пренебрегать, поскольку оно даёт вполне конечный скачок напряжённости на своей поверхности.

AlexNew писал(а):

1) Очевидно дырочку можно считать точкой, (плоскость бесконечная)

Очевидно, дырочку в своей окрестности точечным зарядом заменять нельзя, поскольку распределения напряжённостей окажутся паталогически разными.

[R-o-m-e-n]

AlexNew писал(а):

2) для начала можно заменить эквивалентной системой: заряд плоскости равен нулю но наша точка заряжена, теперь легко видеть что свободные заряды заряды соберется вдоль нашей точки и на бесконечность противоположного знака.

Вы уж аналогию полностью продолжайте: отверстие (пусть и точечное) - не проводник. Поэтому и плоскость берите непроводящую.

[AlexNew]

ewert писал(а):

Этим полем нельзя пренебрегать, поскольку оно даёт вполне конечный скачок напряжённости на своей поверхности.

У вас есть заряд сферы, вы отнимаете от него заряд диска, существенно ли изменится поле поле сферы? Учитывая что диаметр диска значительно меньше диаметра сферы?

я был не прав в прошлом посте.

Сейчас думаю что наиболее точным решением “на пальцах” будет решение задачи о точечном заряде и проводящей сфере, решение в каждом втором учебнике есть, единственное нужно устремить расстояние между сферой и зарядом к нулю.

Величина заряда определяется из условия элементарно, и знаки нужно не напутать : )

точное решение можно наверное получить из теории отображения, когда бесконечная плоскость с дырочкой отображается на сферку, или не можно птому как не ясно что делать с зарядами на бесконечности.

[ewert]

AlexNew в сообщении #192178 писал(а):

У вас есть заряд сферы, вы отнимаете от него заряд диска, существенно ли изменится поле? Учитывая что диаметр диска значительно меньше диаметра сферы?

В окрестности самой дырки (а именно про неё и речь) -- безусловно существенно.

AlexNew в сообщении #192178 писал(а):

Думаю что наиболее точным решением “на пальцах” будет решение задачи о точечном заряде и проводящей сфере, решение в каждом втором учебнике есть, единственное нужно устремить расстояние между сферой и зарядом к нулю.

Это решение не может иметь отношения к делу: каким бы оно ни было -- на самом заряде оно даст сингулярность, а нас между тем интересует распределение поля именно внутри дырки.

Ну и кроме того: о каком, собственно, точечном заряде речь-то?... нет в пределе никакого точечного заряда.

[AlexNew]

Цитата:

Это решение не может иметь отношения к делу: каким бы оно ни было -- на самом заряде оно даст сингулярность, а нас между тем интересует распределение поля именно внутри дырки.

точечный заряд - это заряд нашего диска, который мы выбросили вместе с его зарядами а заряды потом вернули на сферу опять, суть не меняется. заряды которые были на диске перестали создавать поле, это тоже самое если в незаряженную сферу вставить заряженный диск (в диэлектр. оболочке)

по поводу окрестностей, мой способ даст верный результат для поля в любой точке удаленной от отверстия на расстояние большее размера отверстия. И возможно разумный результат на меньшем удалении.

если интересует поле на размерах вблизи краев то нужно сделать следующее:

используя найденное распределение зарядов предидущим способом пощитать поле внутри диска, нехитрый интеграл.

[R-o-m-e-n]

AlexNew писал(а):

точное решение можно наверное получить из теории отображения, когда бесконечная плоскость с дырочкой отображается на сферку, или не можно птому как не ясно что делать с зарядами на бесконечности.

А почему бы не отобразить конечную плоскость так, чтобы ее края отобразились на края отверстия в сфере.

[AlexNew]

изменил свой предидущий пост

Цитата:

А почему бы не отобразить конечную плоскость так, чтобы ее края отобразились на края отверстия в сфере.

не получится, бесконечная плоскость это фактически кольцо, с зарядами противоположных знаков на внутр и вннешней кромке

[R-o-m-e-n]

AlexNew писал(а):

бесконечная плоскость это фактически кольцо

В смысле?

Добавлено спустя 1 час 21 минуту 54 секунды:

Munin писал(а):

R-o-m-e-n в сообщении #191798 писал(а):

Вообще, если уж учитывать краевые эффекты на отверстии, то и кривизну тоже необходимо учитывать.

Давайте краевые эффекты ограничим масштабами $\gg h,$ при желании можно либо $\sim d,$ либо $\ll d,$ но $\gg d^2.$ Это сделает масштаб крупнее, чем для эффектов кривизны.

Пардон, $\gg d^2/r,$ разумеется.

Когда у нас сфера сплошная, то ее потенциал и потенциал полости равны. После выреза отверстия изменением заряда можно пренебречь и изменением потенциала можно пренебречь. Но центре отверстия потенциал будет равен потенциалу пренебрежимо тонкого кольца, потенциал которого равен потенциалу сферы. Но он уже будет убывать при удалении от центра отверстия к центру сферы. Т.е. поле все же будет внутри сферы в окрестности отверстия.

[Munin]

R-o-m-e-n в сообщении #192201 писал(а):

Но центре отверстия потенциал будет равен потенциалу пренебрежимо тонкого кольца

Чему будет там равен потенциал - не очень-то интересно, потому что важно, чему будет равен градиент потенциала.

Добавлено спустя 3 минуты 29 секунд:

ewert в сообщении #192127 писал(а):

Естественно, со средней (или минимальной -- это уж как угодно) плотностью по оставшейся сфере.

А почему? Вот вы подносите однородно заряженную дырочку к проводящей сфере, в ней индуцируется отражение - со средней плотностью - но ещё остаётся и исходная средняя плотность. Значит, будет удвоенная средняя плотность, и заряд не скомпенсируется до нуля :-)

[R-o-m-e-n]

Munin писал(а):

R-o-m-e-n в сообщении #192201 писал(а):

Но центре отверстия потенциал будет равен потенциалу пренебрежимо тонкого кольца

Чему будет там равен потенциал - не очень-то интересно, потому что важно, чему будет равен градиент потенциала.

Ну, это естественно. Но то, что потенциал изменяется, говорит о существовании его градиента; причем, отрицательного от центра отверстия к центру сферы. А значит придется мне частично принять выше озвученный ответ. Но, правда, в нем так и не остается места одноименным зарядам с внешней поверхности сферы. Градиент - по модулю и по знаку отрицательный, а, значит, поле - по знаку противоположное, по модулю - отрицательное.

[Утундрий]

Интересная дискуссия. причем самое интересное в данной дискуссии то, что правильный ответ уже по нескольку раз был дан, а она все продолжается и продолжается... воистину, цель - ничто, движение - все! 8)

С Вашего позволения еще раз кратко охарактеризую решение. Итак:

Наличие отверстия в сферической оболочке приводит к отклонению от равномерного распределения заряда по внешней и внутренней поверхности. Отклонение это локализовано вблизи отверстия на расстояниях порядка его диаметра. Часть заряда "перетекшая" на внутреннюю часть поверхности конечна и при прочих равных убывает с уменьшением диаметра отверстия. Поле "в дырке" неоднородное, стремящееся к бесконечности у границ и достигающее на оси отверстияминимума в половину значения поля вдали от "дырки". Все силовые линии, заходящие внутрь отверстия замыкаются на внутренней части поверхности. В диаметрально противоположной отверстию точке внутренней поверхности плотность зарядов минимальна, но не равна нулю.

Количественные соотношения можно получить либо уже указанным мною ( кажется где-то на 3-й странице) способом, т.е. используя известное решение для проводящей плоскости с круглым отверстием, на которую падает внешнее поле (его нужно брать равным полю на "невозмущенной сфере"). Но это трудный способ - нужно же открыть книгу, прочитать что-то, потом еще что-то сделать...

Либо использовав метод инверсии (надлежащим преобразованием инверсии данная конфигурация переводится в полуплоскость). Что даст нам точное решение. Хотя, честное слово, не вижу особого смысла в точном решении приближенной задачи )

Либо численно, либо еще как, но только не словестно.

Формулы могу при надобности привести, но они "не красивые"... На модельную задачу не тянет.

Возможно для прояснения сути дела будет полезно рассмотреть родственную, но более простую задачу о "цилиндре со щелью". Там все плоское, ТФКП можно применить и отображения элементарно строятся. Кстати, я применил и к этой задаче предложенный выше приближенный метод (в ЛЛ есть решение задачи и о плоскости со щелью), в случае малых отверстия все величины совпали.

[Munin]

Утундрий в сообщении #192940 писал(а):

Наличие отверстия в сферической оболочке приводит к отклонению от равномерного распределения заряда по внешней и внутренней поверхности. Отклонение это локализовано вблизи отверстия на расстояниях порядка его диаметра.

А доказать слабо? А то вдруг там порядок $d^2/h.$

Утундрий в сообщении #192940 писал(а):

Часть заряда "перетекшая" на внутреннюю часть поверхности конечна и при прочих равных убывает с уменьшением диаметра отверстия.

А какая зависимость? Степенная (какой степени), экспоненциальная?

Утундрий в сообщении #192940 писал(а):

Поле "в дырке" неоднородное, стремящееся к бесконечности у границ и достигающее на оси отверстияминимума в половину значения поля вдали от "дырки".

Эта половина - точная или с какими-то поправками?

Утундрий в сообщении #192940 писал(а):

используя известное решение для проводящей плоскости с круглым отверстием, на которую падает внешнее поле (его нужно брать равным полю на "невозмущенной сфере"). Но это трудный способ - нужно же открыть книгу

Простите, а вы ссылки-то давали на известное решение? Я не заметил. Это была бы большая помощь всем читателям темы, но не прозвучало...

Утундрий в сообщении #192940 писал(а):

Либо использовав метод инверсии (надлежащим преобразованием инверсии данная конфигурация переводится в полуплоскость).

Надлежащим - это которым?

Так что, как видите, ваш "правильный ответ дан" - требует множества уточнений.

[R-o-m-e-n]

Утундрий писал(а):

Интересная дискуссия. причем самое интересное в данной дискуссии то, что правильный ответ уже по нескольку раз был дан.

Где?

Утундрий писал(а):

Наличие отверстия в сферической оболочке приводит к отклонению от равномерного распределения заряда по внешней и внутренней поверхности. Отклонение это локализовано вблизи отверстия на расстояниях порядка его диаметра.

У нас нет стороннего поля. Откуда неравновесность возьмется?

Утундрий писал(а):

Часть заряда "перетекшая" на внутреннюю часть поверхности конечна и при прочих равных убывает с уменьшением диаметра отверстия. ... Все силовые линии, заходящие внутрь отверстия замыкаются на внутренней части поверхности. В диаметрально противоположной отверстию точке внутренней поверхности плотность зарядов минимальна, но не равна нулю.

Т.е. заряды перетекли с какого-то перепуга на внутреннюю поверхность (но это пока не обсуждаем), а потом поменяли знак что-ли, чтобы силовые линии могли на них замкнуться?

Утундрий писал(а):

Количественные соотношения можно получить либо уже указанным мною ( кажется где-то на 3-й странице) способом, т.е. используя известное решение для проводящей плоскости с круглым отверстием, на которую падает внешнее поле (его нужно брать равным полю на "невозмущенной сфере").

У нас нет внешнего поля.