тригонометическая задача

[flamemaker]

Доказать, что при любых натуральных $l,m\ge 2$ число

$\prod_{j=1}^{l-1}\prod_{k=1}^{m-1}(4-2\cos(\pi \frac{j}{l})-2\cos(\pi \frac{k}{m}))$

является натуральным.

[maxal]

Можно наверное так:
Представить это произведение как результант пары многочленов с корнями $(1-\cos(\pi \frac{j}{l}))$ и $-(1-\cos(\pi \frac{k}{m}))$ соответственно и убедиться, что у них целых коэффициенты...
см. http://mathworld.wolfram.com/Resultant.html

[flamemaker]

maxal в сообщении #191678 писал(а):

Можно наверное так:
Представить это произведение как результант пары многочленов с корнями $(1-\cos(\pi \frac{j}{l}))$ и $-(1-\cos(\pi \frac{k}{m}))$ соответственно и убедиться, что у них целых коэффициенты...

Да, спасибо, про результант я совсем забыл. Теперь очевидно достаточно подобрать многочлены с целыми коэффициентами и с корнями $\cos(\pi \frac{j}{l})$
для этого воспользуемся формулой:
$\sin lx=l\cos^{l-1}x\sin x-C^3_l\cos ^{l-3}x\sin^3 x+C^5_l\cos^{l-5}x\sin^5 x-\ldots$
Подставим в эту формулу $x=\pi \frac{j}{l}$, слева получим 0, и поделим обе части равенства на $\sin x$