придумайте пример :)

[tumo]

есть такая задача:
для любого сходящегося ряда a(n) ряд из f(a(n)) тоже сходится. найти f.
Саму задачу я решу сам. ну, по крайней мере, постараюсь =)
пока возник такой вопрс:
существует ли сходящийся ряд a(n) такой, что ряд из sin(a(n)) расходится?
вроде как существует. но я пока придумать не смог.

[Trotil]

tumo писал(а):

существует ли сходящийся ряд a(n) такой, что ряд из sin(a(n)) расходится?
вроде как существует. но я пока придумать не смог.

К чему должен сходиться $a(n)$, чтобы $\sin(a(n))$ тоже сходился?

[ewert]

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\alpha}e^{i\cdot2\pi n/3}.$$

Если $3\alpha<1$, но $5\alpha>1$, то ряд из синусов расходится.

Где-то здесь этот вопрос уже обсуждался.

[gris]

Вот пример $f(x)=\frac1x \quad a_n=\frac{(-1)^n}{n}$
А синус непрерывная функция. Хотя непрерывности не хватит. Тот же $\sin \frac1x$ и $a_n=1/(\pi/2+\pi n)$

ЗЫ пардон, я не заметил слова "ряд". Я думал, что это последовательность.

[TOTAL]

gris писал(а):

Хотя непрерывности не хватит. Тот же $\sin \frac1x$ и $a_n=1/(\pi/2+\pi n)$

Чтобы показать, что непрерывности не хватит, взяли не непрерывную функцию?

А вот непрерывная: $f(x)=|x|$ для $a_n=(-1)^n/n$

[tumo]

ewert писал(а):

$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\alpha}e^{i\cdot2\pi n/3}.$$

Если $3\alpha<1$, но $5\alpha>1$, то ряд из синусов расходится.

Где-то здесь этот вопрос уже обсуждался.

спасибо, а не могли бы вы подсказать, где обсуждался этот вопрос?
или хотя бы примерно откуда это вытекает?

[gris]

а $\sin \frac1x$ непрерывна на $(0;\infty)$, но на меня затмение нашло и я подумал, что речь идёт не о ряде, а о сходящейся последовательности.

[tumo]

и можно ли как-то без комплексных чисел? =)

[TOTAL]

tumo писал(а):

и можно ли как-то без комплексных чисел? =)

Чай пить можно без комплексных чисел. Или Вы о чем-то другом?

[Sonic86]

Надеюсь, я тут никому не противоречу.

Такого знакоположительного ряда не существует:
Пусть $\sum\limits_{n=0}^{+ \infty} a_n$ сходится. Тогда по необх признаку сравнения $a_n \to 0$ при $n \to + \infty$, тогда $\sin(a_n) \sim a_n$, значит, ряд $\sum\limits_{n=0}^{+ \infty} \sin (a_n)$ сходится.
То есть нет таких рядов, которых Вы ищете.
Насчет знакопеременных не уверен...

Если хотите без комплексных чисел - сложите ряд ewerta и ему сопряженный почленно.

[ewert]

tumo в сообщении #192020 писал(а):

спасибо, а не могли бы вы подсказать, где обсуждался этот вопрос?
или хотя бы примерно откуда это вытекает?

Где -- не помню, тут много тем.

Вытекает -- очень просто:

$$\sin(a_n)=n^{-\alpha}e^{i\cdot2\pi n/3}-{1\over6}n^{-3\alpha}\cdot1+O\left(n^{-5\alpha}\right).$$

Первые слагаемые дают исходный (сходящийся) ряд. Последние -- абсолютно сходящийся, если $5\alpha>1$. А вот ряд из вторых слагаемых при $3\alpha<1$ расходится.

Без комплексных -- конечно, можно, только лень придумывать или вспоминать. Но в любом случае такой ряд должен быть, конечно, знакопеременным.

[gris]

Вблизи нуля $|\sin a_n|\leqslant |a_n|$ и $\sin$ не меняет знак, поэтому $\sum a_n$ должен быть условно сходящимся рядом со сложным чередованием знаков.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #192028 писал(а):

Если хотите без комплексных чисел - сложите ряд ewerta и ему сопряженный почленно.

Т.е., собственно, "возьмите вещественную часть".

Да, это поможет, но не в лоб -- из расходимости комплексного ряда расходимость вещественной части формально не следует. Придётся доказывать расходимость пальчиками (что, впрочем, нетрудно).

[vlad239]

Вещественный ряд можно построить так. Заметим, что $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)>2\sin x$ при маленьких положительных $x$. Выберем теперь последовательность $a_n\rightarrow 0$ и рассмотрим ряд
$2a_1+(-a_1)+(-a_1)+2a_1+(-a_1)+(-a_1)+\ldots+2a_1+(-a_1)+(-a_1)+2a_2+(-a_2)+(-a_2)+\ldots$,

где каждая группа повторяется столько раз, сколько это необходимо чтобы сумма синусов по ней по модулю была больше 1.

Влад.

[ewert]

да пример, собственно, уже построен. Применительно к конкретно синусу (это я смутно начинаю припоминать, что уже было) -- обобщается примерно так: достаточно сочинить возрастающую с подходящей скоростью последовательность знаменателей, числители которых по каждой следующей тройке попарно одинаковы, и их сумма по каждой тройке равна нулю. Тогда сумма кубов этих числителей уже не ноль, что и приводит к расходимости. Вот в предыдущем примере с вещественными частями экспонент ровно так и происходит.