О корректности определений

[Бодигрим]

В одной из местных тем в качестве побочной ветви обсуждения всплыл вопрос о корректных формулировках определений (сообщения №190166 и №190169).

Задумался. Я всегда неявно подразумеваю перед определением слова "существует и единственно", если не указано иного. С моей точки зрения определение "Делитель - число, делящее данное" - некорректно (м-м, скорее жаргонно, т. е. допустимо для обсуждения общеизвестных объектов профессионалами), а вот высказывание с явным квантором "Делитель - любое число, делящее данное" уже корректно. Или, например, "Предел последовательности - число, такое, что..." - это некорректно, а вот "Предел последовательности - число, такое, что..., если оно существует" - уже корректно.

Насколько общепринятым является мой подход к корректности формулировок определений?

[ewert]

Бодигрим в сообщении #191582 писал(а):

"Делитель - число, делящее данное" - некорректно

"Делитель - любое число, делящее данное" уже корректно.

"Предел последовательности - число, такое, что..." - это некорректно,

"Предел последовательности - число, такое, что..., если оно существует" - уже корректно.

(1) -- корректно, но несколько неуклюже.

(2) -- ещё хуже: слово "любое" -- явно лишнее, оно подразумевается (1).

(3) -- формально сойдёт.

(4) -- вроде и верно, но изложено в извращённой форме (логика вывернута наизнанку).

------------------------------------------------------------------------
А вообще, любое определение должно формулироваться максимально аккуратно, когда оно вводится. Но при дальнейших упоминаниях абсолютная строгость, наоборот, неуместна -- это затрудняет восприятие текста. Например, исходные формулировки должны звучать так:

"Число А называется делителем В, если оно делит В."
"Число А называется пределом последовательности, если... (и дальше разные кванторы с эпсилонами)."

Вопросы существования (4) или единственности (2) определяемых объектов в самом определении неуместны -- это предмет последующего анализа.

А вот в дальнейшем тексте эти фразы будут уже выглядеть довольно дико. Там должно стоять что-нибудь вроде:

"... является делителем исходного (т.е. делит его)..."
"... напомним, что предел -- это такое число, что..."

[gris]

Обратимся к определениям в школьной геометрии. Ромб это параллелограмм (либо просто плоский четырёхугольник), у которого стороны равны. Параллелограммов и ромбов очень много. Писать "любой из параллелограммов" - значит жертвовать лаконизмом в угоду неизвестно чему.

Вместе с тем, можно рассматривать ромб как элемент фактор-множества, которое образуется над (?) множеством всех параллелограммов с помощью отношения эквивалентности - "соседние стороны равны/неравны".
В этом случае определение ромба определяет единственный элемент в некотором множестве.

В классическом определении предела последовательности существование числа оговаривается неявно:
"Число А называется пределом последовательности, если для любого ... существует N такое, что... $|a_n-A|$...". То есть требуется существование некоторого номера члена последовательности, а существование самого А не оговаривается. Единственность А также не следует прямо из определения, а доказывается отдельной теоремой.

[ewert]

gris в сообщении #191590 писал(а):

В классическом определении предела последовательности существование числа оговаривается неявно:

Неудачно сказано. В любом вообще определении существование объекта подразумевается, а вот существует ли он фактически или нет -- это вопрос следующий.

[Лиля]

Бодигрим в сообщении #191582 писал(а):

"Делитель - число, делящее данное"

Бодигрим в сообщении #191582 писал(а):

"Делитель - любое число, делящее данное"

мое частное мнение -если есть какое либо понятие входящее в понятие "число" и не входящее в понятие "любое число" или на оборот -тогда есть смысл эти понятия различать
я бы сказала "делителем целого числа $k$ мы будем называть целое число $n$ такое что $n$ делит $k$ без остатка" таким образом мы как бы определяем значение слова "делитель" -а вообще мне кажеться это каждый сам себе определяет как писать -лишь бы правельно

[luitzen]

«Сумма всех любых чисел, делящих данное» в определении какой-нибудь арифметической функции звучало бы криво .

Дело в том, что правая часть определения возвращает нам множество, а не элемент. Поэтому слово «любой» является лишним.

Да и непонтно, как этот «любой» записать в ЛППП. Вот Гильберт в своё время предлагал некое ε-исчисление, в котором была возможна запись $\varepsilon x A$, читающаяся примерно как «любой $x$, для которого выполняется $A$».

Исчисление было бескванторным, записи $\exists x A(x)$ и $\forall x A(x)$ вводились как «сокращения» для $A(\varepsilon x A)$ и $A(\varepsilon x (\neg A))$ соответственно.

[epros]

Бодигрим писал(а):

"Делитель - число, делящее данное" - некорректно (м-м, скорее жаргонно, т. е. допустимо для обсуждения общеизвестных объектов профессионалами), а вот высказывание с явным квантором "Делитель - любое число, делящее данное" уже корректно.

$\mathrm{isDivisorOf}(a,b) \equiv (\exists x)(a \times x = b)$

Как видите, в определении предиката "число $a$ является делителем числа $b$" никаких кванторов всеобщности по $a$ не требуется.

[Бодигрим]

ewert в сообщении #191588 писал(а):

А вообще, любое определение должно формулироваться максимально аккуратно, когда оно вводится. Но при дальнейших упоминаниях абсолютная строгость, наоборот, неуместна -- это затрудняет восприятие текста.

Естественно, абсолютно согласен.

ewert в сообщении #191588 писал(а):

Вопросы существования (4) или единственности (2) определяемых объектов в самом определении неуместны -- это предмет последующего анализа.

М-м, так вот для того, чтобы не постулировать эти факты раньше времени (если они не очевидны), ИМХО и стоит в определении говорить "любое из" и "если существует". А уже после доказывать, что такой элемент только один и что он обязательно существует.

luitzen в сообщении #191597 писал(а):

Дело в том, что правая часть определения возвращает нам множество, а не элемент. Поэтому слово «любой» является лишним.

О, я понял, мне хочется проговаривать множественность результатов правой части определения. Например, "Пределами называется множество чисел...". А затем доказывать, что это множество при тех или иных условиях непусто и состоит из единственного элемента.

Ладно, судя по обсуждению моя позиция не является общепринятой. Собственно, это меня и интересовало.

gris в сообщении #191590 писал(а):

Ромб это параллелограмм (либо просто плоский четырёхугольник), у которого стороны равны. Параллелограммов и ромбов очень много. Писать "любой из параллелограммов" - значит жертвовать лаконизмом в угоду неизвестно чему.

У слова "любой" есть много синонимов. Например, следующая фраза мне слух не режет: "Ромбом называется произвольный параллелограмм, у которого все стороны равны".

[Droog_Andrey]

Бодигрим писал(а):

Например, следующая фраза мне слух не режет: "Ромбом называется произвольный параллелограмм, у которого все стороны равны".

А если он не произвольный, а вполне конкретный?

"Ромб есть равносторонний четырёхугольник" - кратко и понятно.

Небезызвестный герой Н. Носова Знайка считал, что чем больше слов, тем больше путаницы, и ИМХО был прав

[ewert]

Бодигрим в сообщении #191737 писал(а):

У слова "любой" есть много синонимов. Например, следующая фраза мне слух не режет: "Ромбом называется произвольный параллелограмм, у которого все стороны равны".

А мне, между прочим, режет (и вроде не только мне). Вот скажите: какую дополнительную информацию несёт тут слово "произвольный"?... а если никакую -- то на хрена оно?...

[Мат]

Бодигрим
Иногда полезно жертвовать корректностью в угоду здравому смыслу. Пояснение:
Допустим человек $A$ доказал теорему $B$ и ввел на основании ее определение

Цитата:

Предел последовательности - число, такое, что..., если оно существует

Другой человек, на основании данного определения начал доказывать другую теорему и не смог, т.к. не сумел показать "если оно существует". Углубился в доказывание существования и там запутался окончательно, хотя речь шла совсем о другом (о числе). Затем вырос целый ошибочный раздел математики, математики потратили годы трудов.
Оказалось, что число существует всегда. Из-за погоне за корректностью десятки людей гонялись за неизвестно чем. Читайте эйнштейна "корректность - понятие относительное". А математика штука такая, что в ней доказуемо что угодно. Например, что существует $\sqrt{-1}$. Парадоксально, я сам над этим смеюсь. Но $90$% форума активно пользуется этим бредом.

[gris]

$\sqrt x$ можно рассматривать как функцию, определённую на множестве неотрицательных чисел. Это арифметический квадратный корень из неотрицательного числа, который равен неотрицательному числу, квадрат которого равен подкоренному числу. Существование и единственность квадратного корня их любого неотрицательного действительного числа доказывается отдельно.
То есть в рамках этого определения $\sqrt {-1} $ попросту не определён и поэтому не существует, как не существует корень из ромба.

$\sqrt x$ можно рассматривать как комплексную функцию, определённую на множестве комплексных чисел. Это комплексный квадратный корень из комплексного числа, который равен комплексному числу, квадрат которого равен подкоренному числу. Для каждого числа кроме 0 существует ровно два значения квадатного корня. Их можно определить по формуле Муавра- Лапласа. Для 0 одно значение.
В рамках этого определения $\sqrt {-1} $ существует и принимает два значения $i$ и $-i$

$i$ однозначно определено как элемент поля комплексных чисел и в этом смысле существует. Есть физические модели, в которых $i$ имеет физический смысл, если кого-то волнует проблема физического существования "мнимой единицы". Ну так ведь можно сказать, что в природе и $\sqrt 2$ не существует, потому что все отрезки и точки есть математическая абстракция.

А в математике не всё можно доказать. Попробуйте, докажите, что 1=0

[Бодигрим]

Мат писал(а):

Допустим человек $A$ доказал теорему $B$ и ввел на основании ее определение

Цитата:

Предел последовательности - число, такое, что..., если оно существует

Другой человек, на основании данного определения начал доказывать другую теорему и не смог, т.к. не сумел показать "если оно существует". Углубился в доказывание существования и там запутался окончательно, хотя речь шла совсем о другом (о числе).

Есть два варианта. Либо факт собственно существования предела не важен для доказательства данной теоремы - тогда не надо тратить время на его доказательство. Либо таки важен - тогда доказательство теоремы, проведенное в предположении, что предел существует, может оказаться (и по умолчанию - является) неверным в общем случае.

Мат писал(а):

А математика штука такая, что в ней доказуемо что угодно.

Аккуратнее с риторикой, пожалуйста. Как насчет доказательства континуум-гипотезы?

Мат писал(а):

Например, что существует $\sqrt{-1}$. Парадоксально, я сам над этим смеюсь. Но $90$% форума активно пользуется этим бредом.

Мне любопытно, по каким причинам вы упорно называете комплексные числа бредом. Правда в этой теме это уже оффтоп.

[Мат]

gris писал(а):

А в математике не всё можно доказать. Попробуйте, докажите, что 1=0

Достаточно лишь ввести систему координат, где точкой отсчета является $1$. Тогда в новой системе координат $1=0$ - преобразование координат. Обычный шулерский трюк. Поэтому я такие вещи не люблю. Очень много подобных трюков в теории относительности. Мне особенно нравится:
$E^2=p^2c^2+m^2c^4$ - квадрат зрительного зала сумме квадратов стульев и зрителей. Вообще, если вам интересны подобные трюки, рекомендую любую современную физическую теорию, авторы даже не скрывают, что они хохочут, но при этом изголяются в изысканности и оригинальности. Обычная популистика, типа БАК, в котором появятся страшные страпельки, а черная дыра упадет внутрь Земли и через 2 часа засосет в себя все.

Добавлено спустя 3 минуты 43 секунды:

Бодигрим писал(а):

Аккуратнее с риторикой, пожалуйста. Как насчет доказательства континуум-гипотезы?

см. пример выше. Только рассуждение будет длиннее. А вообще я континуум-гипотезой не занимался, я тут пас.

Цитата:

Мне любопытно, по каким причинам вы упорно называете комплексные числа бредом. Правда в этой теме это уже оффтоп.

Выпейте $\sqrt{-1}$ литров молока и вам все станет ясно. Комплексная алгебра должна была стать прорывом, а стала путаницей, т.к. люди не успели понять, что такое $\sqrt{-1}$, а без понимания сути вещей невозможно оперирование с ними, даже самое красивое и изысканное.

[ewert]

Мат писал(а):

Достаточно лишь ввести систему координат, где точкой отсчета являеься $1$. Тогда в новой системе координат $1=0$ - преобразование координат. Обычный шулерский трюк.

Не надо оскорблять шулеров -- это вполне профессиональные люди, иначе не выжили бы. А Ваш трюк (когда путаются в словах "равенство" и "соответствие") -- это обычная безграмотность, которой никого не проведёшь.