Сравнения

[student]

Как можно показать что если $k(N)$ наименьшее $k$ при котором сравнения

$$ x_{1}^n+\ldots+x_{k}^n\equiv N(\mod p^\alpha) $$

имеет решение и $m$- число всех различных $k(N)$ то $m\le n$?

$p$-простое число.

[maxal]

Непонятно, что такое $m$.

[student]

Для каждого $N$ существует свой наименьший $k(N)$ и $m$- число всех таких различных $k(N)$.

[maxal]

Так может, тут более сильное неравенство выполняется:

$$k(N)\leq n$$

для всех $N$ (откуда легко следовало бы, что $m\leq n$)?

Кстати, на $N$ тут накладываются какие-нибудь ограничения: ненулевое, не делящееся на $p$ и т.п.?

[student]

Да можно считать $(N,p)=1$

[student]

maxal писал(а):

Так может, тут более сильное неравенство выполняется:

$$k(N)\leq n$$

для всех $N$ (откуда легко следовало бы, что $m\leq n$)?

По моему это неверно! Например $x_1^3+x_2^3+x_3^3\equiv 4(\mod 3^2)$ не имеет решения.

[student]

Вообще то я это взял из книги А.А,Карацубы "Основы аналитической теории чисел"
Что то у Анатолия Алексеевича очевидно получается!

186-187-ая страница

[Dandan]

Так объяснение ж прямо перед этим утверждением. Нам не нужно все N рассматривать, а только n штук $ \rm{g}^0(\rm{mod}~p^\gamma), g^1(\rm{mod}~p^\gamma), ... , g^{n-1}(\rm{mod}~p^\gamma)$. Поэтому и возможных k(N) конечно же не больше n, так что это действительно очевидно