Базис Гамеля и мера Лебега

[Профессор Снэйп]

Пусть $\mathcal{E}$ --- базис Гамеля $\mathbb{R}$ как пространства над $\mathbb{Q}$, $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{E}$ и $X$ --- линейная оболочка $\mathcal{X}$ (над $\mathbb{Q}$, естественно). Легко показать, что если $\mathcal{X}$ не более чем счётно, то $X$ имеет лебегову меру $0$ (оно счётным или одноэлементным окажется), а если $\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}$ непусто и не более чем счётно, то $X$ не измеримо по Лебегу (сдвигая $X$ счётное число раз, можно покрыть всё $\mathbb{R}$ счётным семейством непересекающихся множеств). А что насчёт меры $X$ в случае, когда оба множества $\mathcal{X}$, $\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}$ более чем счётны? Ясно, что $X$ в этом случае либо имеет меру $0$, либо не измеримо по Лебегу. Оба ли случая реализуются?

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Пусть $\mathcal{E}$ --- базис Гамеля $\mathbb{R}$ как пространства над $\mathbb{Q}$, $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{E}$ и $X$ --- линейная оболочка $\mathcal{X}$ (над $\mathbb{Q}$, естественно). Легко показать, что если $\mathcal{X}$ не более чем счётно, то $X$ имеет лебегову меру $0$ (оно счётным или одноэлементным окажется), а если $\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}$ непусто и не более чем счётно, то $X$ не измеримо по Лебегу ...

Что-то не могу ссобразить. Пусть $\mathcal Y = \mathcal E \setminus \mathcal X, \qquad \mathcal Y \subseteq \mathcal E, \qquad \mathcal Y$ - не более чем счетно. Как вы сказали, легко показать что $Y$=линейная оболочка $\mathcal Y$ - имеет меру ноль. Но $Y=\mathbb R \setminus X$, а $X$ как вы же и сказали - неизмеримо...

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Но $Y=\mathbb R \setminus X$

Это неверно!

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Но $Y=\mathbb R \setminus X$

Это неверно!

Как это показать?

PS А какова мера самого базиса Гамеля? Кажется он неизмерим по Лебегу...

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Но $Y=\mathbb R \setminus X$

Это неверно!

Как это показать?

??? Откуда у Вас вообще возникла такая странная гипотеза?

Ну да ладно. Представьте себе, что $e_1 \in \mathcal{X}$ и $e_2 \in \mathcal{Y}$. Куда Вы отнесёте число $e_1+e_2$: в $X$ или в $Y$?

Если следовать Вашей логике, то можно дойти до того, что плоскость является объединением оси абсцисс и оси ординат.

P. S. Измерим ли сам базис Гамеля, я не знаю. Тоже интересный вопрос, до сих пор не приходил в голову.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

??? Откуда у Вас вообще возникла такая странная гипотеза?

Ну да ладно. Представьте себе, что $e_1 \in \mathcal{X}$ и $e_2 \in \mathcal{Y}$. Куда Вы отнесёте число $e_1+e_2$: в $X$ или в $Y$?

Действительно странная гипотеза. Я с базисом Гамеля еще на разобрался как следует и поэтому выдал.

[Профессор Снэйп]

Кстати, эта конструкция возникла у меня в голове при обдумывании следующей довольно красивой задачи.

Пусть $f$ --- функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, для которой $f(x+y) = f(x) + f(y)$ при любых $x,y \in \mathbb{R}$. Доказать, что следующие условия на $f$ эквивалентны:

1) $f(x) = Cx$ для некоторого $C \in \mathbb{R}$;
2) функция $f$ непрерывна;
3) функция $f$ измерима (прообраз любого борелевского множества является лебеговским множеством).

[Dan B-Yallay]

Я нашел в гугле ссылки на обсуждения где показывается что канторово множество содержит базис Гамеля и соответственно он измерим по Лебегу и мера его - ноль.

А вот статья (на английском) где рассматриваются "довольно интересные разрывные решения" уравнения $f(x+y)=f(x)+f(y)$:

http://www.ams.org/bull/1942-48-06/S000 ... 7710-X.pdf

Может вам будет интересно.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Я нашел в гугле ссылки на обсуждения где показывается что канторово множество содержит базис Гамеля и соответственно он измерим по Лебегу и мера его - ноль.

Базис Гамеля не единственен. Если какой-то из базисов имеет нулевую меру, то другие могут оказаться неизмеримыми или иметь положительную меру.

Dan B-Yallay писал(а):

А вот статья (на английском) где рассматриваются любобытные свойства разрывного решения уравнения $f(x+y)=f(x)+f(y)$:

http://www.ams.org/bull/1942-48-06/S000 ... 7710-X.pdf

Может вам будет интересно.

Не-а! Не очень интересно. По крайней мере в связи со сформулированной задачей. Можно, конечно, и залезть по ссылке, но задача довольно просто решается без всяких ссылок, на уровне определений и элементарных свойств измеримых функций. Хотя некоторый элемент олимпиадности в ней присутствует.

[Dan B-Yallay]

Вариант ваших условий:

1) $f(x) = xf(1)$ , ( $f(1)=C \in \mathbb{R} )$;
2) функция $f$ непрерывна;
3) функция $f$ измерима по Лебегу.

Банах и Серпинский привели различные доказательства $3) \Rightarrow 1)$. Не берусь судить насколько они "олимпиадные".

Я так понимаю вы ищете третье - попроще?

[AD]

Профессор Снэйп в сообщении #191704 писал(а):

Базис Гамеля не единственен. Если какой-то из базисов имеет нулевую меру, то другие могут оказаться неизмеримыми или иметь положительную меру.

В Богачёве "Основы теории меры", по-моему, как-то читал, что внутренняя мера у всех базисов ноль, а вот внешняя - как повезет (бывают и меры нуль, но бывают и неизмеримые). Там можно порыться.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Я так понимаю вы ищете третье - попроще?

Уже не ищу Какое-то время назад мне задавали эту задачку, я её решил тогда. В Банаха и Серпинского не заглядывал. Возможно, то решение, что я нашёл (основанное на сохранении меры множества при разрезании отрезка на две части и перестановке их местами), есть и у них. Мне оно показалось красивым, но, может, в теории меры подобные рассуждения давно стали стандартными? Я не знаю просто.