Заряженная сфера с дырочкой

[Утундрий]

R-o-m-e-n писал(а):

мат-ламер писал(а):

Силовая линия будет проходить через центр вырезаесмого диска, далее через центр сферы, и далее заканчиваться на внутренней противоположной точке сферы. Часть заряда перераспределится с наружной части сферы во внутреннюю.

Если было вы так, то не было вы решетки Фарадея.

И тем не менее - это так. Часть заряда с внешней поверхности перейдет на внутреннюю. Привести окончательные формулы, или вы еще ненафлудились?

[ewert]

да, кстати (пардон если кого дублирую, не в силах всё перечесть), а ведь в центре дырочки поле -- вовсе не нулевое. Напряжённость там равна половине напряжённости поля, создаваемого полной сферой на своей внешней поверхности. Просто потому, что перепад напряжённостей по обе стороны поверхности сферы и выкидываемого диска одинаков, однако для сферы внутренняя напряжённость равна нулю, в то время как для диска -- и внутренняя, и внешняя напряжённости по модулю одинаковы.

[мат-ламер]

Выскажу своё личное ИМХО. Сначала думал, что для решения проблемы достаточно вычислить поле, создаваемое вырезанной частью в её центре (оно будет пропорционально вырезаемой площади - в некотором приближении), а затем результат вычесть из поля сферы. Теперь думаю, что всё гораздо сложнее. Дело в том что в оставшейся части сферы произойдёт перераспределение зарядов и заряды подтянутся к вырезаной части, что исказит ответ. Интуитивно кажется, что электрическое поле в центре дырочки будет таким же, как и в случае равномерно заряженной сферы с учётом того, что часть заряда с неё ушла вместе с вырезанной частью. Таким образом ответ предположительно будет таким

$ E = e (1 -s/S) $

где e - исходное поле сферы в центре дыры
E - поле сферы с вырезанной дырой в её центре
s - площадь дыры
S - площадь сферы

Что касается устройства поля в окрестности дыры, то силовые линии будут в неё заходить и
потом равномерно расходится по внутренности сферы.

[R-o-m-e-n]

мат-ламер писал(а):

Интуитивно кажется, что электрическое поле в центре дырочки будет таким же, как и в случае равномерно заряженной сферы с учётом того, что часть заряда с неё ушла вместе с вырезанной частью.

По условию задачи отношением площадей можно пренебречь.

Добавлено спустя 8 минут 55 секунд:

ewert писал(а):

да, кстати (пардон если кого дублирую, не в силах всё перечесть), а ведь в центре дырочки поле -- вовсе не нулевое. Напряжённость там равна половине напряжённости поля, создаваемого полной сферой на своей внешней поверхности. Просто потому, что перепад напряжённостей по обе стороны поверхности сферы и выкидываемого диска одинаков, однако для сферы внутренняя напряжённость равна нулю, в то время как для диска -- и внутренняя, и внешняя напряжённости по модулю одинаковы.

Т.е. по-вашему поле не определяется градиентом потенциала?

Добавлено спустя 6 минут 47 секунд:

Утундрий писал(а):

R-o-m-e-n писал(а):

мат-ламер писал(а):

Силовая линия будет проходить через центр вырезаесмого диска, далее через центр сферы, и далее заканчиваться на внутренней противоположной точке сферы. Часть заряда перераспределится с наружной части сферы во внутреннюю.

Если было вы так, то не было вы решетки Фарадея.

И тем не менее - это так. Часть заряда с внешней поверхности перейдет на внутреннюю. Привести окончательные формулы, или вы еще ненафлудились?

Заряд не перейдет на внутреннюю поверхность сферы. Или Вы не помните опыты с решеткой Фарадея?

[Munin]

А какая, собственно, разница, на какой поверхности заряд? Толщина же пренебрежимо мала.

[мат-ламер]

Не знаю про решётку Фарадея, но если на внутренней поверхности сферы нет зарядов, то силовые линии в неё не заходят, и напряжённость поля в центре дырки нулевая.

[R-o-m-e-n]

мат-ламер писал(а):

Не знаю про решётку Фарадея, но если на внутренней поверхности сферы нет зарядов, то силовые линии в неё не заходят, и напряжённость поля в центре дырки нулевая.

Вы теорему Остроградского-Гаусса знаете?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #191411 писал(а):

Не знаю про решётку Фарадея, но если на внутренней поверхности сферы нет зарядов, то силовые линии в неё не заходят, и напряжённость поля в центре дырки нулевая.

Строго говоря, не факт, они могут заходить в дырочку в одном месте и выходить в другом :-)

[ewert]

R-o-m-e-n в сообщении #191359 писал(а):

Т.е. по-вашему поле не определяется градиентом потенциала?

Поле-то определяется (в целом), но вот значение поля в некоторой точке никак не связано со значением потенциала в этой же конкретной точке.

[R-o-m-e-n]

ewert писал(а):

R-o-m-e-n в сообщении #191359 писал(а):

Т.е. по-вашему поле не определяется градиентом потенциала?

Поле-то определяется (в целом), но вот значение поля в некоторой точке никак не связано со значением потенциала в этой же конкретной точке.

?!

[Munin]

Точно так же как значение функции и значение её производной могут сочетаться как угодно.

[AlexNew]

была на этом форуме похожая задачка про одномерную линейку, и свободные заряды на ней, ответ оказался не тревиальным.

Здесь тоже не будет простого ответа, можно попробывать решить вариационным методом в цилиндрической системе координат.

Добавлено спустя 4 минуты 16 секунд:

по условию диск значительно меньше радиуса сферы, тоесть фактически это точка, тогда сумарное поле результат поля сферы + поля точечного заряда обратного знака, но оно очень слабое в силу малости диска и им можно пренебречь : ))

[мат-ламер]

Тут меня спрашивали насчёт теоремы Остроградского-Гаусса (R-o-m-e-n). Понял, что кое-чего не догоняю. В курсах математики она обычно доказывается для случая, когда напряжённость поля - гладкая функция, и в любой точке поля существует дивергенция. В курсах электростатики она не доказывается, но там напряжённость поля неограничена вблизи зарядов. Тут, наверное, каждый заряд можно окружить сферой достаточно малого радиуса, и записать эту теорему вне этих сфер, учитывая что дивергенция электрического поля нулевая, и поток поля через эти сферы (вокруг зарядов) пропорционален этим зарядам, и тем самым придём к формулировке этой теоремы, принятой в электростатике.
Не понял, причём тут решётка Фарадея. Она вроде защищает от электромагнитного излучения. У нас поле постоянно. Тут скорее ближе аналогия с генератором Ван дер Граафа. R-o-m-e-n наверное хочет высказать мысль что внутри сферы с дыркой поля не будет. Моё мнение, что поле будет, но достаточно малое. Причём сильно малое, иначе не работал бы генератор Ван дер Граафа, но всё же не нулевое.
Munin высказывал мысль, что не исключена возможность, что силовые линии могут заходить через дырку сферы и выходить через неё. Учитывая симметричность сферы, а также то, что одним концом линия должна упираться в заряд, а другим уходить в бесконечность, то я слабо представляю такую ситуацию Я думаю, что силовые линии, заходящие в сферу через дырку, будут загибаться через её край, и заканчиваться на зарядах в окрестности этой дыры на внутренней поверхности сферы. В глубину сферы будет уходить мало линий.

[R-o-m-e-n]

мат-ламер писал(а):

Тут меня спрашивали насчёт теоремы Остроградского-Гаусса (R-o-m-e-n). Понял, что кое-чего не догоняю. В курсах математики она обычно доказывается для случая, когда напряжённость поля - гладкая функция, и в любой точке поля существует дивергенция. В курсах электростатики она не доказывается, но там напряжённость поля неограничена вблизи зарядов. Тут, наверное, каждый заряд можно окружить сферой достаточно малого радиуса, и записать эту теорему вне этих сфер, учитывая что дивергенция электрического поля нулевая, и поток поля через эти сферы (вокруг зарядов) пропорционален этим зарядам, и тем самым придём к формулировке этой теоремы, принятой в электростатике.

Вы, наверное, путаете, точнее необосновано обобщаете однородное и электростатическое поля. Электростатическое поле может быть однородным. Поле точечного заряда неоднородное. Его можно считать однородным на бесконечно далеком расстоянии.

мат-ламер писал(а):

Не понял, причём тут решётка Фарадея. Она вроде защищает от электромагнитного излучения.

Решетка Фарадея защищает только от электрического поля. Ферромагнетики и сверхпроводники выполненные в виде решетки Фарадея защищают от магнитного поля. От электромагнитного поля защититься практически нельзя.

мат-ламер писал(а):

У нас поле постоянно. Тут скорее ближе аналогия с генератором Ван дер Граафа. R-o-m-e-n наверное хочет высказать мысль что внутри сферы с дыркой поля не будет. Моё мнение, что поле будет, но достаточно малое. Причём сильно малое, иначе не работал бы генератор Ван дер Граафа, но всё же не нулевое.

Поле разумеется есть, но с нулевой суперпозицией. Внутри сферы отличен от нуля потенциал.

мат-ламер писал(а):

Учитывая симметричность сферы, а также то, что одним концом линия должна упираться в заряд, а другим уходить в бесконечность, то я слабо представляю такую ситуацию Я думаю, что силовые линии, заходящие в сферу через дырку, будут загибаться через её край, и заканчиваться на зарядах в окрестности этой дыры на внутренней поверхности сферы. В глубину сферы будет уходить мало линий.

Это и был бы, наверное, правильный ответ. Но в задаче пренебрегается толщиной сферы.

[ewert]

Это -- неправильный ответ. Поскольку вырезаемый косочек бесконечно мал, его поле на достаточно больших расстояниях практически совпадает с полем точечного заряда. Поэтому силовые линии внутри сферы представляют собой расходящиеся почти прямолинейные и равномерно расположенные лучи (вне некоторой окрестности дырки, разумеется).

Что, кстати, для проводящей сферы невозможно -- для неё эти линии должны упираться в сферу по нормали. Поэтому распределение зарядов в проводящем случае существенно неравномерно.