вероятность не менее m удачных исходов

[sadomovalex]

привет
правильно ли я понимаю, что для расчета вероятности того, что из $n$ опытов с 2-мя возможными исходами (с вероятностями $p$ и $q$ соответственно) исход с вероятностью p произойдет не менее $m$ раз, необходимо воспользоваться формулой Бернулли, без множителя $q^{n-m}$, т.е. $p_{n}(\ge m)=C_n^mp^m$ ?

или просто воспользоваться формулой Бернулли для $m,m+1,...,n$ и сложить вероятности?

Первый вариант основан на моем понимании формулы: множитель $q^{n-m}$ суть дополнительный ограничивающий фактор, добавляющий требование "ровно $m$ исходов" и если его убрать об оставшихся $n-m$ ничего определенного сказать будет нельзя: могут появится оба исхода. Если это не так, прошу помочь прочувствовать формулу

[ASA]

sadomovalex в сообщении #190958 писал(а):

просто воспользоваться формулой Бернулли для $m,m+1,\dots,n$ и сложить вероятности?

Да

sadomovalex в сообщении #190958 писал(а):

множитель $q^{n-m}$ суть дополнительный ограничивающий фактор, добавляющий требование "ровно исходов" и если его убрать об оставшихся $n-m$ ничего определенного сказать будет нельзя: могут появится оба исхода.

????

[sadomovalex]

Цитата:

sadomovalex в сообщении #190958 писал(а):

множитель $q^{n-m}$ суть дополнительный ограничивающий фактор, добавляющий требование "ровно исходов" и если его убрать об оставшихся $n-m$ ничего определенного сказать будет нельзя: могут появится оба исхода.

????

попробую проиллюстрировать на примере: в случае "ровно 3 исхода из 5 опытов" один из вариантов будет иметь вид (1 - удачный исход):
10110
Этот вариант определяется правилом умножения вероятностей (И) $\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(1-\frac{1}{2}\right)^{5-3}$. Нам останется только просуммировать все возможные варианты $C_5^3$

в случае "не менее 3-х исходов" мы уже будем иметь:
1?11?
где ? соответствуют либо 0, либо 1 - заранее неизвестно. Единственное, что можно здесь сказать, что этот вариант определяется правилом умножения вероятностей $\left(\frac{1}{2}\right)^3$. Просуммировав $C_5^3$, получим все возможные недоопределенные варианты где есть хотя бы 3 единицы.

Надеюсь, моя мысль понятна. Извиняюсь, что изложил недостаточно строго, но мне главное понять и прочувствовать формулу Бернулли. Этот пример я взял лишь для примера

[gris]

При вычислении без множителя $q^{n-m}$ Вы рискуете получить вероятность, большую единицы. Хотя бы в случае не менее 3 из 5 при $p=1/2$.

Это из-за того, что некоторые благоприятные варианты Вы будете учитывать по нескольку раз. Например 11111 пройдёт как 1??11, и как 111?1.
Вместо вероятности 0,5 получим 1,25

[sadomovalex]

gris писал(а):

Это из-за того, что некоторые благоприятные варианты Вы будете учитывать по нескольку раз. Например 11111 пройдёт как 1??11, и как ?11?1.
Вместо вероятности 0,5 получим 1,25

верно, спасибо. В этом, видимо, и состоит корка: смысл множителя $q^{n-m}$ в том, чтобы, избавившись от повторений, перейти к чистой комбинаторике и решить задачу прямым подсчетом. Огорчает только то, что такое понимание формулы является следствием понимания лишь технического приема, а не вытекает сразу из самой формулы

[gris]

А чтобы глужбе проникнуть в суть формулы, посмотрите, во что она превращается при увеличении $n$ и различных условиях связи между $n$ и $p$.
Почитайте про вывод формул для нормального и пуассоновского распределения.

[Архипов]

sadomovalex в сообщении #190976 писал(а):

Надеюсь, моя мысль понятна. Извиняюсь, что изложил недостаточно строго, но мне главное понять и прочувствовать формулу Бернулли. Этот пример я взял лишь для примера

Благородное намерение. Вычислите для иллюстрации вероятности всех возможных исходов, например, для 6 ипытаний. Получится 7 строчек с суммой вероятностей, равной 1. Например, вероятность более 1 и менее 4 успехов - сумма строчек р(2)+р(3). В редакторе MsExcel есть функция БИНОМРАСП (n_m_p_ЛОЖЬ) . Там можно и сотни исходов обсчитать. Если вместо ЛОЖЬ задать ИСТИНА, то функция сама сложит строчки и выдаст Р(x<m).