Приближенный анализ, оценка погрешностей

[Spook]

Допустим, есть неточное число $x$, которое нужно подставить в формулу $f(x)$ и оценить погрешности. Например, $x=\pi\approx 3.142$ (то есть погрешность примерно известна). Сколько знаков (после запятой) я должен сохранять при вычислении? Три? (имеется ввиду без округления) А если значение было бы точным? И еще такой момент. Если точное значение неизвестно, то можно попробовать разложить функцию в знакочередующийся ряд и применить теорему Лейбница, что абсолютная погрешность конечной суммы не превосходит первого отброшенного члена. Для приведенного примера раскладывать нужно пока член ряда не станет меньше $0.0001$(то есть три знака после запятой будут точными)?

[id]

А разве можно каким-либо образом оценить погрешности вычисления $f(x_0)$, не имея каких-либо данных о самой функции $f$? Скажем, принадлежи она какому-нибудь классу Липшица, все было бы достаточно просто.

[Spook]

id, функция например такая

$$f(x)=\frac{x}{ln(x)}$$

. Просто срочно понадобилось, а я это все довольно давно проходил (если и проходил). В инете никак конкретного ничего не найду, скачал Бахвалов "Численные методы", там вроде есть чего-то по этой теме.

[id]

Можно воспользоваться дифференциируемостью в $x_0$, например.

[Spook]

То есть в ряд все-таки, а потом смотреть до какого члена суммировать?

[Someone]

Если $x_0$ - приближённое значение переменной с абсолютной погрешностью, не превосходящей $\Delta x>0$, то погрешность $f(x_0)$ можно оценить величиной $|f'(x_0)|\Delta x$ (или $\sup\{|f'(x)|\Delta x:|x-x_0|\leqslant\Delta x\}$, если нужна гарантированная оценка сверху). Функция, естественно, предполагается имеющей непрерывную производную. Погрешности округления в промежуточных вычислениях не учитываются.

[Spook]

Someone, спасибо. А если функция $y=f(x)$ зависит от $n$ переменных, то как я понял

$$\triangle{y}=\sum\limits_{i=1}^n|\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}|\triangle{x_i}$$

.