Корни иррационального уравнения

[DoGGy]

Привет всем, у меня вот такой вопрос:
Я решаю иррациональное уравнение и в конце концов получаю два корня, но для одного корня(чтобы он действительно являлся решением) приходится брать именно

\[\sqrt 4 = - 2\]

, а это как-то странно, а для другого корня, наоборот, нужно брать

\[\sqrt 4 = 2\]

, а с

\[\ - 2\]

, он не является решением, так что будет корнем и почему ?? мне что-то помнится, что тут завязка с какими-то арифметическими корнями или что-то подобное....
Поясните пожалуйста.

[Brukvalub]

Арифметический квадратный корень является неотрицательным решением уравнения $x^2 = a\;,\;a \ge 0$. Но у уравнений могут быть и другие решения.

[DoGGy]

другие это какие?
и еще:
если мы нашли корни иррационального уравнения, то при проверке, мы берем

\[\sqrt 4 = 2\]

или

\[\sqrt 4 = - 2\]

этот тоже ?? или мы должны брать их вместе или порознь, вот в чем проб лемка-то ???

Добавлено спустя 13 минут 22 секунды:

т.е. у нас получается, что

\[\sqrt 4 = - 2\]

верно так же, как и

\[\sqrt 4 = 2\]

что делать ?

[gris]

$\sqrt 4=2$.

Даже в формуле корней квадратного уравнения пишется плюс-минус перед корнем. Например, $x_{1,2}=3 \pm\sqrt 4$. То есть $x_1=3+\sqrt 4=3+(2)=5$ и $x_2=3-\sqrt 4=3-(2)=1$.

Но при решении иррациональных уравнений нам приходится часто возводить в квадрат без проверки частей уравнения на положительность. При этом мы отдаём себе отчёт, что могут появиться "посторонние" корни. Для того, чтобы их отбросить и устраиваем проверку. И при проверке всегда считаем корень из числа положительным.

[DoGGy]

спасибо......

[gris]

Пример:
$\sqrt {x+2}=x$
$x+2=x^2$
$x^2-x-2=0$
$x_1=2$ Проверка: $\sqrt {4} = 2; \quad 2=2$. Корень подходит.
$x_2=-1$ Проверка: $\sqrt {1} = -1; \quad 1 = -1$. Корень посторонний.

Добавлено спустя 3 минуты 39 секунд:

В данном случае, правда, можно было бы написать условие равносильности преобразования: $x \geqslant 0$ и обойтись без проверки, но часто эти условия громоздки и надо следить только за тем, чтобы корни не терялись, а в конце проверить их.

[ewert]

Только сейчас заметил, что слово "проблемка" образовано из двух -- "пробка" и "леммка"...

[DoGGy]

описался немножечко.....

[gris]

ewert, а ещё там можно обнаружить слово "пробел" и умозаключить, что проблемы возникают из-зи пробелов в изучении материала

[Лиля]

DoGGy в сообщении #190325 писал(а):

$\[\sqrt 4 = - 2\]$,

на самом деле это не верно.. корень не может быть отрицательным а правельно вот как:
$\[\sqrt 4 = 2\]$ и больше не как....
но если$ \[\sqrt 4 = x^2 \]$
то отсюда следует что $2 =|x|$
а дальше уже $2=x ,\ x>0\ \ $
и $\ \ 2=-x ,\ x\leq0$

[gris]

Вот тут Лиля, как обычно, попала в точку.
Ибо сколько школьников теряло корни уравнения $(x-2)^2=4$, простодушно избавляясь от квадрата переходом к уравнению $x-2=2$. А ведь потерянные корни никакой проверкой не вернёшь. Я уже не говорю про неравенства...
Но самое смешное, что находятся те, кто утверждает, что правильно решать так: $x-2=\pm 2$. И, получив правильные ответы, без тени сомнения пишут ответ к неравенству $(x-2)^2 < 4$ как $x<2\pm 2$.

[Утундрий]

Лиля писал(а):

DoGGy в сообщении #190325 писал(а):

$\[\sqrt 4 = - 2\]$,

на самом деле это не верно.. корень не может быть отрицательным а правильно вот как:
$\[\sqrt 4 = 2\]$ и больше ни как....
но если$ \[\sqrt 4 = x^2 \]$
то отсюда следует что $2 =|x|$
а дальше уже $2=x ,\ x>0\ \ $
и $\ \ 2=-x ,\ x\leq0$

Вынужден Вас разочаровать, радикал может быть и отрицательным и даже комплексным. Если это внятно определенный радикак "как он есть", а не неявно, без упоминаний, выделенная его ветвь.

Кстати, исправил "арфагрофечиские ашыпке"

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #190541 писал(а):

Вынужден Вас разочаровать, радикал может быть и отрицательным и даже комплексным. Если это внятно определенный радикак "как он есть", а не неявно, без упоминаний, выделенная его ветвь.

Вынужден и Вас разочаровать. Выше шла речь о давно уже выделенной в распоряжение арифметики ветви АРИФМЕТИЧЕСКОГО квадратного корня.
О дискретном логарифмировании, аделях и торических слоениях дискуссии здесь не предполагалось.

[Алексей К.]

DoGGy, может, Вам что-то подскажет это обсуждение, в частности, о проверке корней.

Добавлено спустя 11 минут 18 секунд:

Утундрий писал(а):

Лиля писал(а):

корень не может быть отрицательным а правильно вот как:
$\[\sqrt 4 = 2\]$ и больше ни как....

Утундрий, Вы уверены, что $\mbox{больше~~н{\bf и}~~~~~~~~~~~как}$?

[gris]

Алексей К., может ему ещё и запятые за Лилю расставить?
На самом деле она весьма грамотная девушка, просто у неё стилизация под современную продвинутую молодёжь. Почему-то предполагается, что школьники должны писать с огромным количеством ошибок. Вот так взрослые дяди, косящие в чатах под подростков, старательно делают ошибки, которые реальный школьник даже нарочно не сделает.
А насчёт корней одна училка сказала: выжечь бы у них калёным железом на лбу, что $\sqrt{x^2}=|x|$. Вот страсти-то какие. Правда я лично думаю, что на лбу не видно. Ежели только в перевёрнутом виде, чтобы в зеркало смотреть