Наименьшее значение выражения

[ewert]

Georgise писал(а):

$\left\{ \begin{array}{l}a+b=1 \\ a>0, b>0 \end{array} \right $

Ну, мне показалось, что там сначала стояло $a+b<1$. В такой постановке это была бы нормальная задача на экстремум в ограниченной области.

[Georgise]

ewert писал(а):

Georgise писал(а):

$\left\{ \begin{array}{l}a+b=1 \\ a>0, b>0 \end{array} \right $

Ну, мне показалось, что там сначала стояло $a+b<1$. В такой постановке это была бы нормальная задача на экстремум в ограниченной области.

Ну нет, такого там точно небыло, Вы ошиблись:)

[DM_13]

Простое чисто алгебраическое решение.

Пусть $ a= \frac{1}{2} - c, b = \frac{1}{2} + c$, $ c \in [0, \frac{1}{2})$.
$A = \left(\frac{1}{2} - c + \frac{1}{\frac{1}{2} - c}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} + c + \frac{1}{\frac{1}{2} + c}\right)^2 = \frac{1}{2} + 4 + 2c^2+ \frac{\frac{1}{2} + 2c^2}{(\frac{1}{4} - c^2)^2}$. Очевидно в выражении $\frac{\frac{1}{2} + 2c^2}{(\frac{1}{4} - c^2)^2}$ с ростом $c$ числитель растёт, а знаменатель убывает. Значит минимум достигается при наименьшем значении $c$, т.е. при $c = 0$. Получаем $A_{\min} = 12\frac{1}{2}$.