Полугруппы: начинающий

[lofar]

Утверждение 2, вообще говоря, неверно.

Для доказательства достаточности рассмотрите отображение $\phi\colon S\to J_K$, для $k\in K$ $(k)(s)\phi:=ks$ (элементу $s\in S$ ставим в соответствие правое умножение на него (правую трансляцию)).
При доказательстве необходимости выведите, что из существования какого-то изоморфизма $S\cong J_K$ следует, что $\phi$ тоже изоморфизм.

[Romashka]

Спасибо.

Пусть $a \notin K$, тогда $ka = b, k,b\in K \Rightarrow a \not = b$. Допустим $(a)\phi$ - правый нуль полугруппы $J_K$. Тогда $(ka)\phi = (b)\phi = (k)\phi (a)\phi = (a)\phi$. Значит $a \not = b$ и $(a)\phi = (b)\phi$, но это противоречит изоморфизму, значит если $a \notin K$, то $(a)\phi$ - не правый нуль полугруппы $J_K$. Так как $|S| = |J_K|$, то правый нуль полугруппы $S$ отображается в правый нуль полугруппы $J_K$.

Далее $K \mapsto k, k\in K$ буду писать просто $k$

(i) Пусть $xa = xb, \forall x \in K$, тогда $(xa)\phi = (xb)\phi = (x)\phi (a)\phi = (x)\phi (b)\phi = x'(a)\phi = x'(b)\phi \Rightarrow (a)\phi = (b)\phi \Rightarrow a = b$, значит $xa = xb, \forall x \in K$, влечет $a = b$

(ii) Так как $Ka \subseteq K$, то $a$ можно рассматривать как некую функцию отображения $K$ в $K$. Так как полугруппы равномощны и (i), тогда $|\{Ka|a \in S\}| = |S| = |J_K|$, значит $\{Ka|a \in S\} = J_K$, где $Ka$ - функция отображения $K$ в $K$. Из все следует, что для любого $\alpha \in J_K$ существует $a$ такое, что $x\alpha = xa, \forall x \in K$

Обратно.

Дано (i), (ii).

$x\alpha = xa = xb = x\beta \Rightarrow \alpha = \beta$, т.е. для всякого $\alpha$ однозначно существует одно $a$, что озночает $|S| = |J_K|$. Теперь, пусть условие (ii) правило отображения $S$ в $J_K$, т.е. $\phi:S\mapsto J_K$. Из уловий (i), (ii) следует, что $\phi$ - биекция. Имеем 1) полугруппы равномощны 2) биективную функцию. И $x(a)\phi (b)\phi = (x(a)\phi) (b)\phi = (xa)(b)\phi = (xa)b = x(ab) = x(ab)\phi = x((a)\phi (b)\phi), \forall x \in K$ , т.е. $(ab)\phi = (a)\phi (b)\phi$. Думаю правильно.

Вопрос: (ii) единственное правило отображения при котором возможен изоморфизм?

[Romashka]

Задача 4.

Если полугруппа содержит правую единицу, то каждый ее правый сдвиг является внутренним.

$xa = x\rho_a, \forall x \in S$ - внутренний правый сдвиг
$(xy)\rho = x(y\rho)$ для любых $x,y \in S$ - правый сдвиг

Чо делать?

[Romashka]

Думаю так.

$(xe)\rho = x\rho = x(e\rho) = xc, \forall x \in S$, т.е. для любого $\rho$ существует такое $c \in S$, что $x\rho = xc, \forall x \in S \Rightarrow \rho = \rho_c$

[Romashka]

Задача 5.

Если $S$ - такая полугруппа, что $S^2 = S$, то каждый ее правый сдвиг коммутирует с каждым ее левым сдвигом.

С чего начать?

[Romashka]

Думаю так.

$(xy)(\rho\lambda) = ((xy)\rho)\lambda = (x(y\rho))\lambda = (x\lambda)(y\rho)$
$(xy)(\lambda\rho) = ((xy)\lambda)\rho = ((x\lmabda)y)\rho = (x\lambda)(y\rho)$

$(xy)(\rho\lambda) = (xy)(\lambda\rho)$

$xy = S^2 = SS = S$

$x(\rho\lambda) = x(\lambda\rho)$ - коммутативно.

$(xy)\rho = x(y\rho)$ - правый сдвиг
$(xy)\lambda = (x\lambda)y$ - левый сдвиг

Правильно?

[Romashka]

Задача 6.

Полугруппа $S$ является полугруппой правых нулей тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих свойств

(а) все преобразования полугруппы $S$ являются правыми сдвигами;
(б) единственным левым сдвигом полугрппы $S$ является тождественное отображение.

Думаю так.

Пусть $S$ - полугруппа правых нулей, тогда
(а) $(xy)\gamma = y\gamma$, т.к. $y\gamma \in S$, значит если я этому выражению добавлю слева $x$, то ничего не изменится, т.е. $(xy)\gamma = y\gamma = x(y\gamma)$, значит все являются правыми сдвигами.
$\gamma \in J_K$

(б) $(xy)\lambda = y\lambda = (x\lambda)y = y$, т.е. левый сдвиг $\lambda$ - тождественное отображние.

Обратно
(а) Пусть $(xy)\gamma = x(y\gamma)$, тогда правые нули $k$ (обозначу так) полугруппы $J_K$ - правые сдвиги, т.е. $(xy)k = k = x(yk) = xk, \forall x \in S, k \in S$, т.е. $S$ - полугруппа првых нулей.

(б) Так как $xS = S\lambda_x$, тогда $xy = y\lambda_x = y\lambda = y, \forall x\in S, y\in S$, где $\lambda$ - тождественное отображение и к тому же единственный левый сдвиг. $S$ - полугруппа правых нулей.

Последнее (б) верно?

[Romashka]

Здравствуйте.

Вопрос 1.

$\rho_0$ - произвольное отношение на полугруппе $S$
$\rho$ - конгруэнция на $S$ порожденная отношением $\rho_0$

Пусть $\rho_1 = \rho_0 \cup \rho_0^{-1} \cup i$, где $i$ - отношенин равенства
Положим $a\rho_2 b$ тогда и только тогда, когда $a = xcy, b=xdy, c\rho_1 d$ при некоторых $x,y \in S$ и $c,d\in S$, тогда отношение $\rho_2$ $\rho_0\subseteq \rho_1\subseteq\rho_2\subseteq\rho$, рефлексивно, симметрично, стабильно

Покажите/подскажите пожалуйста, что $\rho_2$ рефлексивно.

[Romashka]

Оставим предыдущий вопрос.

Вопрос 2. Другой вопрос.

Если $e$ - идемпотент полугруппы $S$, то $eS$ состоит из всех элементов $a$ полугруппы $S$, для которых $e$ является левой единицей, т.е. $ea=a$. В самом деле, если $a=ex$ для некоторого $x\in S$, то $ea=e^2x=ex=a$; обратное утверждение очевидно.

Покажите, пожалуйста, эту обратную очевидность.

[Romashka]

Некоторые размышления

я бы записал так $e(eS) = eS$ - для меня так яснее.

Итак, $eS$ - подполугруппа полугруппы $S$, далее $ee\in eS$.
Если доказать, что $e \in eS$, то $e = ee$.

Кто-нибудь может показать, что $e \in eS$ ?

[Romashka]

Здравствуйте.
Задача 7.
Регулярная коммутативная полугруппа есть объединение групп.

Получил что:
1. $S$ - инверсная полугруппа.
2.$aba=a, bab=b, abS = aS, ab=e$ - идемпотент $a,b,ab \in eS$
3.$c\in eS\Rightarrow cdc=c, dcd=d, c,d,cd \in cS$

Больше ничего найти не смог.
Можно подсказку?

Добавлено спустя 2 часа 42 минуты 7 секунд:

В самом деле, че я голову морочу, очевидно.

1. $eS = aS, \forall a \in S$
2. $eSe = eS$ - полугруппа с двусторонней единицей, значит содержит максимальную подгруппу $H_e$ инверсной подполугруппы $eS$
3. В силу (1) следует, что каждый элемент содержится в какой-нибудь подгруппе полугруппы $S$

Да?

[Romashka]

Я ж не доказал, что $a,b \in H_e$

1. $a,b$ - единственны друг для друга
2. $H_e$ является пересечением обратимой слева и обратимой справо подполугрупп относительно $e$
3. $a,b$ являются одновременно и правым обратным и левым обратным элементами, значит пренадлежат пересечению $H_e$

Теперь полно.

[Romashka]

Здравствуйте.
Задача 8.

Полугруппа $S$ регулярна тогда и только тогда когда $A\cap B=AB$ для каждого правого идеала $A$ и каждого левого идеала $B$ из $S$

Помогите!

[lofar]

Romashka писал(а):

Здравствуйте.
Задача 8.

Полугруппа $S$ регулярна тогда и только тогда когда $A\cap B=AB$ для каждого правого идеала $A$ и каждого левого идеала $B$ из $S$

Помогите!

Утверждение легкое следствие определений. Сформулируйте определение регулярной полугруппы которое вы используете..

[Romashka]

Что-то не добегу.