Теория рядов

[Кудряшов Андрей]

Помогите пожалуйста решить следующие примеры по теории рядов.
Исследовать на сходимость:
$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)^3}
Исследовать на сходимость:
$$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{(ln(n+1))^n}
Исследовать на абсолютную сходимость:
$$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n+1}}
Найти область сходимости ряда:
$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{2^n(n+1)}
Вычислить приближенно с точностью \varepsilon=0.001 значение lg$e
Есть замечания по данным задачам. Если понабится то сообщу.

[photon]

А какие книги Вы смотрели? Какие признаки сходимости пытались применять? Какие возникли проблемы? Какой помощи Вы ожидаете? - решать за ( т.е. вместо) Вас никто здесь не будет

[Кудряшов Андрей]

в первом примере я использовал интегральный признак. перешел к интегралу

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(x+1)^3} dx$$

, нашел его и оказалось, что этот интеграл несобственный. Как его взять???

[незваный гость]

Что Вы имеете в виду -- "как его взять"? Как всякий интеграл от рациональной функции (см. Фихтенгольц, по-моему, том 2).

[Кудряшов Андрей]

Во втором примере использовал признак Лейбница. Вроде все получилось. Только нужно доказать, что абсолютные величины членов монотонно убывают.

[Кудряшов Андрей]

незванный гость писал(а):

:evil:
Что Вы имеете в виду -- "как его взять"? Как всякий интеграл от рациональной функции (см. Фихтенгольц, по-моему, том 2).

несобственный интеграл берется как-то через предел...

[незваный гость]

$\lim\limits_{A \to +\infty}\int\limits_{0}^{A} \frac{x}{(x+1)^3} dx$?

[citadeldimon]

Все интегралы несложно считаются:

1.

$$\sum\limits_{i=1}^n n/(n+1)^3 \approx \sum\limits_{i=1}^n 1/n^2 < \propto$$

остальное отправлю на e-mail (лень набирать формулы)[/img]

[Кудряшов Андрей]

Помогите пожалуйста разобраться с приближенными вычислениями.
Нужно вычислить приближенно с точностью \varepsilon=0.001 значение lg$e

[Capella]

Кудряшов Андрей писал(а):

Помогите пожалуйста разобраться с приближенными вычислениями.
Нужно вычислить приближенно с точностью \varepsilon=0.001 значение lg$e

Ну это можно сделать, например, разложив $lg[e]$ в ряд. Потом подставляете значение Вашего известного неизвестного и суммируете до определённого члена (значение этого члена не должно превышать \varepsilon=0.001) ...
Может кто ещё, что найдёт
По превой задаче: не совсем уверена, что в точку, но то, что у него предел сходящийся, не означает, что сам ряд сходится (контрпример - гармонический ряд). По моему лучше сделать, как citadeldimon. В остальных надо делать по признаку Абеля (ряды с мигающим знаком).

И ещё: почему Вы интеграл от 0 берёте? Вроде надо от а=1 в данном случае $\int\limits_{a=1}^{\infty} f(x) dx$, где $f(x)$ положительна, непрерывна и монотонно спадает.

[photon]

Capella писал(а):

Потом подставляете значение Вашего известного неизвестного и суммируете до определённого члена (значение этого члена не должно превышать \varepsilon=0.001) ...

Наверное только не значение этого члена, а сумма остаующегося хвоста, да?

[Capella]

photon писал(а):

Capella писал(а):

Потом подставляете значение Вашего известного неизвестного и суммируете до определённого члена (значение этого члена не должно превышать \varepsilon=0.001) ...

Наверное только не значение этого члена, а сумма остаующегося хвоста, да?

Да, энто верно!

[Кудряшов Андрей]

нет. я так понимаю это значение можно привести к \ln 10. а потом я пробывал разложить ряд \ln (1+x), т.е. \ln (1+9). Но препод забраковал.

[Capella]

Не понятно... Вы используете $lg_{10}[e] = ln[10]$ ? Это не верно.

Замена базиса у логов: $Log_{a}x = \frac {ln x} {ln a} $ Сразу видно, что в Вашей задаче наверху будет единица...

[Someone]

Кудряшов Андрей писал(а):

нет. я так понимаю это значение можно привести к \ln 10. а потом я пробывал разложить ряд \ln (1+x), т.е. \ln (1+9). Но препод забраковал.

Ничего удивительного. Ряд для $\ln(1+x)$ сходится при $-1<x\leqslant 1$, так что подставить в него $x=9$ нельзя.

Разложите в ряд $\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)$ и возьмите такое $x$, чтобы было $\frac{1+x}{1-x}=10$. Остаток ряда можно оценить с помощью геометрической прогресии.