Множество решений системы уравнений с целыми коэффициентами

[ewert]

правда прежде всего в том, что уравнений -- не меньше, чем неизвестных (иначе решение не может быть единственным с вытекающими отсюда последствиями).

А если уравнений больше, чем неизвестных, то избыточные уравнения выкидываются нафик -- иначе система не будет иметь решений.

Короче: так или иначе, задача сводится к "квадратной" системе.

[maxal]

Alik
Решение существует и единственно только тогда, когда ранг самой и расширенной матрицы равен числу переменных. В этом случае, если матрица не квадратная, то в системе будут присутствовать уравнения, линейно выражающиеся через другие - если их исключить, останется система с квадратной матрицей, эквивалентная исходной.

[Someone]

Так надо базисный минор в ней найти и лишние строки отбросить, а лишние столбцы перенести в правую часть.

А вообще, чем Вам метод Гаусса не нравится? Если все коэффициенты при неизвестных и свободные члены целые (или рациональные), то в методе Гаусса появляются только рациональные числа, и в конце концов получаются рациональные выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные, коэффициенты при неизвестных и свободные члены.

[Alik]

То есть в случае целых коэффициентов единственное решение рационально. Чего ж тогда Крамер с Гауссом не договорились и написали об этом в какой-либо книге?

[Полосин]

1. Возможно, и написали. Вы все труды Крамера и Гаусса читали?
2. Для выписывания всех тривиальных вещей никаких книг не хватит.
3. Целые числа не образуют поля. Теоремы курса линейной алгебры обычно формулируются в терминах разрешимости в некотором поле. Если коэффициенты целые, то (минимальным) полем как раз и будет поле рациональных чисел.

[Лиля]

Someone в сообщении #189538 писал(а):

Так надо базисный минор в ней найти и лишние строки отбросить

Мда... это как это строчки отбросить -столбцы приклееть.... фантастика... если матрица не имеет решения т.е. решение матрицы пустое множество $\{ \not \!O \}$ то это тож решение рационально поскольку $\{ \not \!O \} \in \Mathbb {Q}$

[ewert]

Лиля в сообщении #189562 писал(а):

т.е. решение матрицы пустое множество

Лиля, я ж просил сменить подпись, а?

А иначе как реагировать на словосочетание "решение матрицы", а?

[Лиля]

ewert в сообщении #189564 писал(а):

"решение матрицы",

решение линейных уровнений

[gris]

"А нубкой был бы краше!" - Граф Кутузофф.

Лиля, поздравляю, Вы освоились и теперь не нубка. Но теперь смотрите, как бы Ваше мнение кто-нибудь да ни учёл. А то ведь учтут и не пожалеют

[ИСН]

$$\not\!O\backslash\!\!\!\!O\backslash\!\!\!0\not\!0\phi \emptyset$$

(в сторону) Как разнообразен мир...