Общий вопрос про функции

[sniffer]

Если дано что

\[\inf _{[x_i ,x_{i + 1} ]} (f) = 0\]

для любого деления отрезка

\[[a,b]\]

, и для всех

\[1 \leqslant i < n\]

.
Можно ли сказать что

\[f_{(x)} = 0\]

почти во всех точках отрезка?
Конечно функция не отрицательная...

[shwedka]

неверно. Если функция равна нулю в рациональных точках и единице в иррациональных, то она именно такова.

[sniffer]

Спасибо, вообщем я пропустил этот момент.
А если утверждение становитса более слабым, т.е.,
есть бесконечное, или конечное, количество точек в которых функця обнуляетса?
Идея есть, но вот не уверен что она правильная:

\[ f_{(x)} = \left\{ \begin{gathered} \frac{1} {q},{\text{ }}x = \frac{p} {q}{\text{ }}p,q \in \mathbb{N} \hfill \\ 1,{\text{ }}x \notin \mathbb{Q} \hfill \\ \end{gathered} \right\},x \in [0,1] \]

Когда

\[ \frac{p} {q} \]

сокращоная дробь.
Вообщем если идея правильная, тогда этот пример самый силный.
Потому что нет ни одной точки в которой функция обнуляетса (если конечно, не считать 0).
Я думаю что это выходить из:

\[ \mathop {\lim }\limits_{x_n \to x_0 } f_{(x_n )} = 0 \]

, когда

\[ x_n \in \mathbb{Q},x_0 \notin \mathbb{Q} \]

.
Не так ли?