Прогрессия.

[Colte]

Очень хочется осознать как решать задачку.

Условие:
Сумма конечной убывающей арифметической прогрессии, одним из членов которой является -1, равна 0. Найдите ее разность, если известно, что произведение 7-го и 13-го членов равно 1.

Ответ известен: d= -1/4 ; Получается a=1 либо a= 3.5 .
Но как прийти к этому ответу?

[ewert]

Colte в сообщении #188668 писал(а):

Сумма конечной убывающей арифметической прогрессии,

вообще-то конечных убывающих (равно как и возрастающих) арифметических прогрессий не бывает, если только их разность не равна нулю.

И кто такие задачки сочиняеть?... небось, опять какая-нибудь ЕГЭ?...

[gris]

Не ЕГЭ, а э-ге-ге...
Colte, надо уметь такие задачи разбирать по словечку.

Конечная - значит несколько чисел, которые образуют арифметическую прогрессию, то есть есть первый член, к которому прибавляем всё время одно и то же число - разность прогрессии. . Попутно вспоминаем, что "внутренние" члены равны полусумме свох соседей.

Убывающая - значит разность прогрессии меньше 0.

Сумма равна 0. Значит в прогрессии есть и положительные и отрицательные члены. И она симметрична относительно своей серединки. Если в прогрессии нечётное число членов, то в серединочке стоит число 0. А если чётное число, то в серединочке два числа - одинаковых по модулю, но разных по знаку.

Среди чисел есть -1. А значит есть и 1.

Теперь посмотрим на произведение 7-го и 13-го членов. Оно равно 1. Значит они одного знака и стоят по разные стороны от 1 или от -1... И вот теперь подумаем, а могут ли они быть отрицательными? Ведь тогда должны существовать семь положительных членов прогрессии с номерами меньшими 7. Накладочка. (поэтому решение с $a=1$ не проходит)

Всё это должно приблизительно за пару минут пронестись у Вас в голове. А уж потом надо попробовать решать.

Итак, имеем семь положительных числел, образующих убывающую арифметическую прогрессию, в которой есть число 1, а произведение крайних тоже равно 1. Причем сами числа нам не надо находить, только разность. И главное, убывая, эта прогрессия должна при продолжении пройти либо через 0, либо через два противоположных числа.

Вот попробуйте из этих рассуждений выудить идею решения. Или найти что-то покороче и покрасивее

[ewert]

да ладно, gris. Аффтары, будучи высокоучёнами, попросту спутали геометрическую прогрессию с арифметической. Или же ничего не спутали, а так, от балды ляпнули. А что: им -- бабло капает, абитура же -- да тьфу на них! коль скоро ужо накапало!

[Colte]

ewert,с конечной они,конечно,намудрили.)Это не ЕГЭ а питерский мат-мех,должен быть посодержательнее.

gris,

Цитата:

Всё это должно приблизительно за пару минут пронестись у Вас в голове

Хоть в физмате и учусь,а в голове не проноситься.Наличие симметрии просветило,хоть это и очевидно.
Получается забавно
a_1 , a*a_7=1 , a_7= $1/a_1 - члены прогрессии

Цитата:

убывая, эта прогрессия должна при продолжении пройти либо через 0, либо через два противоположных числа.

Часик подумал,не допонимаю,что нам даст симметрия ?

[gris]

Colte, я вчера заподозрил, что задача не из ЕГЭ, хотя для школьника вполне даже по зубам. Кстати, в школе часто рассматривают конечные прогрессии, правда их так не называют, а говорят "пять чисел, являющиеся последовательными членами арифметической прогрессии" или "семь чисел, образуюих геометрическую прогрессию".
Для ЕГЭ задача немного запутанная, по крайней мере, я не увидел быстрого решения. Но для матмеха годится.
Симметрия нужна вот зачем. Можно увидеть, что первый отрицательный член должен равняться $d$ (если ноль встречается в прогрессии) или $d/2$ (если ноль не встречается).
Наличие единицы дает выражение для разности прогрессии $d=-\frac2k$.
Ну и теперь осталось рассмотеть положение единички. На 13 и 7 месте она не может стоять, на 10 тоже. На 12 и 11 тоже - вот тут обычному школьнику трудновато будет. Хотя можно и просто подставить. Остается два места - 8 и 9.
В первом случае имеем $(1-4d)(1+2d)=1$... Ну и так далее.

[Colte]

gris,огромное спасибо!
Там действительно все решает перебор,всего 10 вариантов(5шт. с a7,a13 > 0; и 5шт. где a7,a13 < 0).
Мех-мат&мат-мех)