Интересная задача по ТВ - как ее решить?

[Andrey96]

Таки шо, у второго вероятность собрать два шара одного цвета больше, чем у первого?
0,2587967425/0,5070828331=0,510363841
Вы уверены?

[evgeny]

0,2587967425/0,5070828331=0,510363841 - это УСЛОВНАЯ вероятность того, что у второго все шары разного цвета, при условии, что у первого все шары разноцветные.

Если Вам это поможет, то рассмотрите 3 цвета, по 2 шара каждого цвета. Каждый игрок вынимает по 3 шара. В этом случае вероятность того, что все шары различны (у первого , у второго и у обоих сразу - все три вероятности одинаковые) будет $\frac 2 5$ и аналогичная условная вероятность будет $\frac 25 / \frac 25 = 1$.

[Andrey96]

evgeny писал(а):

0,2587967425/0,5070828331=0,510363841 - это УСЛОВНАЯ вероятность того, что у второго все шары разного цвета, при условии, что у первого все шары разноцветные.

Таки шо, при условии, что у первого есть пара одинаковых, УСЛОВНАЯ вероятность того, что у второго все шары разного цвета, будет ДРУГАЯ?

[evgeny]

Рассмотрите случай, когда всего 6 шаров - по 2 шара каждого из 3 цветов. Два игрока вынимают по 3 шара.
Вероятность того, что первого все шары разноцветные будет $\frac{6*4*2}{6*5*4}=\frac 25$
Вероятность того, что у второго все шары разного цвета будет $\frac 25$
Вероятность того, что у каждого все шары разного цвета тоже будет $\frac 25$

Таким образом
УСЛОВНАЯ вероятность того, что у второго все шары различны, если у первого все разные равна $1$
УСЛОВНАЯ вероятность того, что у второго все шары различны, если у первого есть два одинаковых шара равна $0$

[photon]

evgeny писал(а):

Судя по исходной задаче, в условии должно быть написано
ДВА шара ОДНОГО цвета, а все остальные РАЗНОГО (чтобы сравнивать вероятности выпадения пары одинаковых при начальной раздаче)

Не обязательно разного - может быть два одного цвета и три другого - тоже будет ровно одна пара

[evgeny]

Это конечно надо спрашивать у автора, но как мне кажется (судя по исходным параметрам), речь идет о покере, поэтому вариант 2 шара одно цвета и 3 шара другого не подхоит, т.к. это более сильная покерная комбинация (3+2).

[Joker90]

Рассмотрим на примере образования комбинации "Пара" у дилера и у одного игрока:

В колоде 52 карты.

Как образуется пара к первой карте дилера и игрока?

1. Дилеру пришла 1 карта. В колоде осталось 51 карта.

2. Игроку пришла 1 карта. В колоде осталось 50 карт.

3. Дилеру пришла вторая карта. Она может быть парной к первой карте дилера.
Если первая карта игрока не того же номинала, что и первая карта дилера (например, у дилера ЛЮБАЯ тройка, у игрока – любая семерка), вероятность того, что первая и вторая карты дилера образуют пару, равна 3/50.
Если первая карта игрока того же номинала, что и карта дилера (например, у дилера ЛЮБАЯ тройка, и у игрока – она же), вероятность того, что первая и вторая карты дилера образуют пару, равна 2/50. В колоде осталось 49 карт.

4. Игроку пришла вторая карта. Она может быть парной к первой карте игрока.
Если первая и вторая карта дилера не того же номинала, что и карта игрока, вероятность того, что первая и вторая карты игрока образуют пару, равна 3/49.
Если первая или вторая карта дилера того же номинала, что и карта игрока, вероятность того, что первая и вторая карты игрока образуют пару, равна 2/49.
Если и первая, и вторая карта дилера того же номинала, что и первая карта игрока, вероятность того, что первая и вторая карты игрока образуют пару, равна 1/49. В колоде осталось 48 карт.

5. Дилеру пришла третья карта. Она может быть парной к первой карте дилера.
Если первая и вторая карта игрока не того же номинала, что и карта, вероятность того, что первая и третья карты дилера образуют пару, равна 3/48.
Если первая или вторая карта игрока того же номинала, что и первая карта дилера, вероятность того, что первая и вторая карты дилера образуют пару, равна 2/48.
Если и первая, и вторая карта игрока того же номинала, что и карта дилера, вероятность того, что первая и третья карты дилера образуют пару, равна 1/48. В колоде осталось 47 карт.

6. Игроку пришла третья карта. Она может быть парной к первой карте игрока.
Если первая и вторая карта дилера не того же номинала, что и карта игрока, вероятность того, что первая и вторая карты игрока образуют пару, равна 3/47.
Если первая или вторая карта дилера того же номинала, что и первая карта игрока, вероятность того, что первая и вторая карты игрока образуют пару, равна 2/47.
Если и первая, и вторая карта дилера того же номинала, что и карта игрока, вероятность того, что первая и вторая карты игрока образуют пару, равна 1/47. В колоде осталось 46 карт.

Аналогично для четвертой и пятой карт.

Сведем эти данные в таблицу:

Рассчитаем вероятности:

Вероятность того, что пару к первой карте дилера образуют вторая или третья карта (при этом у игрока нет таких карт), равна (3/50)*(1-3/48)+(3/48)*(1-3/50). Т. е. могут произойти события «Пара состоит из 1-ой и 2-ой карты» (3/50) и «Пара Не состоит из 1-ой и 3-ей карты» (1-3/48); либо события «Пара состоит из 1-ой и 3-ей карты» (3/48) и «Пара Не состоит из 1-ой и 2-ой карты» (1-3/50). Т. к. это события независимые, складываем их вероятности. Общая вероятность равна 0,115

Вероятность того, что пару к первой карте дилера образуют вторая или третья, или четвертая карта (при этом у игрока нет таких карт), равна (0,115)*(1-3/46)+(3/46)*(1-0,115). Т. е. могут произойти события «Пара состоит из 1-ой и 2-ой или 3-ей карты» (0,115) и «Пара Не состоит из 1-ой и 4-ой карты» (1-3/46); либо события «Пара состоит из 1-ой и 4-ой карты» (3/48) и «Пара Не состоит из 1-ой и 2-ой или 3-ей карты» (1-0,115). Т. к. это события независимые, складываем их вероятности. Общая вероятность равна 0,165217.

Последовательно рассчитав все вероятности, получим, что:
Вероятность дилера получить пару к первой карте равна 0,31133.
Вероятность игрока получить пару к первой карте равна 0,328915.

Аналогично рассчитываются вероятности для получения пар ко второй, третьей, четвертым карта дилера и игрока.

И получается, что:
Вероятность дилера получить пару в раздаче равна 0,461241.
Вероятность игрока получить пару в раздаче равна 0,465924.